Question

△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=1200，以D为顶点作一个60°角，

角的两边分别交AB、AC边求BN,MN,NC间的关系

Answer 1

解：（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．

（2）利用（1）中的结论得出：
△AMN的周长=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4．

（3）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM．
在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，BD=CD，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．

Answer 2

BM+CN=MN.
证明:BD=CD,∠BDC=120°,则∠DBC=∠DCB=30°,∠DBA=∠DCA=90°.
延长AC到P,CP=BM,连接DP,则⊿DCP≌⊿DBM,DP=DM;∠PDC=∠MDB.
∴∠PDM=∠CDB=120度;
又∠MDN=60度,故∠PDN=∠MDN;DN=DN.
∴⊿PDN≌⊿MDN(SAS),PN=MN,即CP+CN=MN,BM+CN=MN.

Answer 3

：（1）MN=BM+NC，理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE，如图1所示：
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，
∵BD=CD∠MBD=∠ECDCE=BM​，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，
∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠BDM+∠CDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=60°，即∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
在△DMN和△DEN中，
∵ND=ND∠EDN=∠MDNMD=ED​，
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN=NC+CE=BM+NC；

Answer 4

给个图

追问

不会画。。。

追答

通过证明∵BM+CN=MN.
∵BD=CD,∠BDC=120°∴∠DBC=∠DCB=30°,∠DBA=∠DCA=90°.
延长AC到P,CP=BM,连接DP
∴⊿DCP≌⊿DBM∴DP=DM∴∠PDC=∠MDB.
∴∠PDM=∠CDB=120°;
又∵∠MDN=60°
∴∠PDN=∠MDN;DN=DN.
∴⊿PDN≌⊿MDN(SAS),PN=MN
∴CP+CN=MN,BM+CN=MN.