Question

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN。探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以说明。说明：⑴如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索的过程中的某种思路写出来（要求至少写3步)；⑵在你经历说明⑴的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。①AN＝NC(如图②）②DM‖AC(如图③）。附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其他条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由。

Answer 1

MN=BM+CN。证明见图片：

在∠MDN范围过D作线段DH，使得∠HDM=∠BDM且DH=DB。连接MH、NH 1) 由于BD=CD，∠BDC=120°可知∠DBM=∠DCN=90° 2) 易证△HDM≌△BDM（SAS），于是HM=BM，∠DHM=∠DBM=90° 3) 因为∠BDC=120°，∠MDN=60°，所以∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°。于是∠HDN=∠MDN-∠HDM=60°-∠BDM=∠CDN 4) 结合DH=DB=DC、DN公共可知△HDN≌△CDN（SAS），于是HN=CN，∠DHN=∠DCN=90° 5) 由∠MHN=∠DHM+∠DHN=90°+90°=180°可知H在线段MN上。于是MN=HM+HN=BM+CN 证毕

Answer 2

　　延长AC至E，使得CE=BM，连接DE，
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°．
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠BDM=∠CDE，BM=CE，
又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°，
∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°，
∵∠MDN=∠NDE=60°．
∴△DMN≌△DEN（SAS），
∴MN=EN．
又NE=NC+CE，BM=CE，
∴MN=BM+NC；

Answer 3

解：三角形BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
所以∠BCD=∠DBC=30°
三角形ABC是边长为3的等边三角形，
∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°
∠DBA=∠DCA=90°
顺时针旋转三角形BDM使DB与DC重合，
在△DMN和△DNM`中
DM=DM`
∠MDN=∠NDM`=60°
DN=DN
所以△DMN和△DNM全等
MN=NM`=NC+BM

Answer 4

　　

解：BM＋CN＝MN
证明：如图，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1
由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ABD＝∠ACD＝90°
∵BD＝CD
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB＝∠M1DC　　DM＝DM1
∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120°
又∵∠MDN＝60°
∴∠M1DN＝∠MDN＝60°
∴△MDN≌△M1DN
∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB
附加题： CN－BM＝MN
证明：如图，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠DBM＝∠DCM1＝90°
∵BD＝CD
∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB＝∠M1DC　　DM＝DM1
∵∠BDM＋∠BDN＝60°
∴∠CDM1＋∠BDN＝60°
∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°
∴∠M1DN＝∠MDN
∵AD＝AD
∴△MDN≌△M1DN
∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB

Answer 5

延长AB到E,使得BE=CN，连接DE
因为ΔABC是等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形
所以∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°
BD＝DC
所以∠ABD＝∠ACD＝90°
BD＝DC
BE=CN
所以△BDE 全等于△CDN
所以DE=DN，∠EDB＝∠NDC
又因为∠BDC=120°，∠MDN=60°
所以∠EDB + ∠MDB ＝∠NDC + ∠MDB =∠BDC=120°-∠MDN=60°=60°
所以∠EDM=60°= ∠MDN
DE=DN ； DM =DM
所以△MDE全等于△MDN
所以ME=MN
因为BE=CN
所以MN=MB+BE=MB+NC

Answer 6

证明：，延长AC至M1，使CM1＝BM，连结DM1 由已知条件知：∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠ABD＝∠ACD＝90° ∵BD＝CD ∴Rt△BDM≌Rt△CDM1 ∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∴∠MDM1＝（120°－∠MDB）＋∠M1DC＝120° 又∵∠MDN＝60∴∠M1DN＝∠MDN＝60∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC＋CM1＝NC＋MB
CN－BM＝MN证明：，在CN上截取，使CM1＝BM，连结DM1 ∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°∴∠DBM＝∠DCM1＝90°∵BD＝CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1∴∠MDB＝∠M1DC DM＝DM1 ∵∠BDM＋∠BDN＝60°∴∠CDM1＋∠BDN＝60°∴∠NDM1＝∠BDC－（∠M1DC＋∠BDN）＝120°－60°＝60°∴∠M1DN＝∠MDN ∵AD＝AD∴△MDN≌△M1DN ∴MN＝NM1＝NC－CM1＝NC－MB