Question

13.操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明．
注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分．
①AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）．
附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由．

Answer 1

解：（1）BM+CN=MN

证明：如图，延长AC至M1，使CM1=BM，连接DM1

由已知条件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ABD=∠ACD=90°．

∵BD=CD，

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1

∴∠MDM1=（120°-∠MDB）+∠M1DC=120°．

又∵∠MDN=60°，

∴∠M1DN=∠MDN=60°．

∴△MDN≌△M1DN．

∴MN=NM1=NC+CM1=NC+MB．

（2）附加题：CN-BM=MN

证明：如图，在CN上截取，使CM1=BM，连接MN，DM1

∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠DBM=∠DCM1=90°．

∵BD=CD，

∴Rt△BDM≌Rt△CDM1

∴∠MDB=∠M1DC，DM=DM1

∵∠BDM+∠BDN=60°，

∴∠CDM1+∠BDN=60°．

∴∠NDM1=∠BDC-（∠M1DC+∠BDN）=120°-60°=60°．

∴∠M1DN=∠MDN．

∵ND=ND，

∴△MDN≌△M1DN．

∴MN=NM1=NC-CM1=NC-MB．

望采纳，谢谢

Answer 2

在∠MDN范围过D作线段DH，使得∠HDM=∠BDM且DH=DB。连接MH、NH
1) 由于BD=CD，∠BDC=120°可知∠DBM=∠DCN=90°

2) 易证△HDM≌△BDM（SAS），于是HM=BM，∠DHM=∠DBM=90°

3) 因为∠BDC=120°，∠MDN=60°，所以∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=60°。于是∠HDN=∠MDN-∠HDM=60°-∠BDM=∠CDN

4) 结合DH=DB=DC、DN公共可知△HDN≌△CDN（SAS），于是HN=CN，∠DHN=∠DCN=90°

5) 由∠MHN=∠DHM+∠DHN=90°+90°=180°可知H在线段MN上。于是MN=HM+HN=BM+CN

追问

求附加题简略过程

Answer 3

BM＋NC＝MN
证：把△NDC绕点D逆时针旋转120°，使点C与点B重合，N点转到N’。
∵△ABC为正三角形∴∠ABC＝∠ACB＝90°
又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC＝120°
∴∠DBC＝∠DCB＝30°
∴∠ACD＝∠ABD＝60°＋30°＝90°
∴旋转后M、B、N’在同一直线上，且DN＝DN’，∠NDC＝∠N’DB
又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°
∴∠BDM＋∠NDC＝60°
∴∠BDM＋∠BDN‘＝60°即∠MDN’＝∠MDN＝60°
又∵MD＝MD，DN＝DN’
∴△MDN≌△MDN’（SAS）
∴MN＝MN’
又∵MN’＝BM＋BN’＝BM＋NC
∴MN＝BM＋NC
如果M、N分别在射线AB、CA上时，有NC－MB＝MN。