Question

如图，ad是三角形abc的角平分线，de平行ac，交ab于点e，df平行ab，交ac于点f，证明ad垂直ef

Answer 1

证明：
∵AD是角平分线
∴∠EAD=∠FAD
∵DE∥AC
∴∠ADE=∠FAD
∴∠EAD=∠EDA
∴AE=DE
∵DA∥AC，DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AE=DE
所以是菱形
∴AD⊥EF

Answer 2

DE//AC，DF//AB，
〈EAD=〈DAF，
〈EDA=〈DAF，
〈EDA=〈EAD，
△AED等腰△，△AFD是等腰△，〈EAD=〈FAD，
〈EDA=〈FDA，
AD=AD，
∴△AED≌△AFD，（ASA），
∴AE=AF，
∴AEDF是菱形，
∴AD⊥EF。

Answer 3

∵DF平行AB，DE平行AC
∴AEDF是平行四边形
∵DF平行AB，
∴∠ADF=∠DAE
又：AD是∠BAC的平分线
∴∠DAF=∠DAE
∴∠DAF=∠ADF
∴FA=FD
∴AEDF是菱形
∴AD⊥EF

Answer 4

证明：因为ED∥AC，所以角EDA=角DAF

DF∥AB ,所以角ADF=角EAD

又AD是角BAC的平分线，所以，角EAD=角DAF

所以，角EAD=角EDA=角ADF=角ADF

所以，AE=ED=DF=AF
又ED∥AC，DF∥AB 四边形AEDF是平等四边形
所以，四边形AEDF是菱形 因为三角形EAD中，角EAD=角EDA，则它为等腰三角形，所以AE=ED，同理，DF=AF 又AC∥ED，所以平行线AC和ED中所夹的平行线段AE和DF相等，所以AE=ED=DF=AF。

Answer 5

∵DE∥AC, DF∥AB
∴四边形AEDF是平行四边形
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠FAD
∵DF∥AB
∴∠EAD=∠FDA
∴∠FAD=∠FDA
∴AF=DF
∴四边形AEDF是菱形
∴AD⊥EF

Answer 6

证明：因为ED∥AC，所以角EDA=角DAFDF∥AB所以角ADF=角EAD 又AD是角BAC的平分线，所以，角EAD=角DAF所以，角EAD=角EDA=角ADF=角ADF所以，AE=ED=DF=AF又ED∥AC，DF∥AB 四边形AEDF是平等四边形