Question

设(G，*)是群，且|A|=2n，n∈N．试证明在G中至少存在元素a≠e，使得a*a=e，其中e是单位元素。

Answer 1

【答案】：证明 因为群(A，*)的元素个数为偶数2n对于任意的x∈A，均有它的逆元素x^-1∈A，使得x*x^-1=x^-1*x=e，由于互为逆元素的两个不相同元素是成对出现的，而且群中有唯一的单位元素e，因此，至少有一个元素是以其自身为逆元素的，即必存在a∈A，a≠e，使得a*a=e．本题首先要认定条件中已给出(A，*)是群，那么群的性质在以下证明中都能用，群的阶为2n，表示A中元素个数为偶数，x和x^-1是成对出现的(指x和x^-1不相同时)．e又是唯一的，如果没有以其自身为逆元素的元素，则A中元素个数为奇数，这与条件|A|=2n矛盾，故A中至少有一个元素以其自身为逆元素，即a*a=e．