Question

[例14](1999,数二)"对任意给定的 E(0,1), 总存在正整数N,当 nN 时,想-||？

题目里是≤2ε，解析力取ε1=3ε，这肯定成立啊
那取ε1=1.5ε，也就是取ε=2/3的ε1，就推不出来了吧。还是说 任意ε 的意思是只要能找到一个ε，能成立就好了，不管别的ε了

Answer 1

这道题目的意思是：对于任意给定的 $ε>0$，都存在一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$\left|\frac{1}{n}\right|<ε$ 成立。
因此，对于任意给定的 $ε>0$，只需要找到一个正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$\left|\frac{1}{n}\right|<ε$ 成立即可。这里的 $ε$ 是任意给定的，可以是任何小于 $1$ 的正实数，不一定是 $2/3$ 的 $ε_1$。
在解析中取 $ε_1=3ε$，是为了保证 $\frac{2}{n}<ε$，从而推出 $\frac{1}{n}<ε$。但是，如果取 $ε_1=1.5ε$，同样可以推出 $\frac{1}{n}<ε$，只需要找到一个更大的正整数 $N$ 即可。因此，只要能找到一个 $N$，使得当 $n>N$ 时，$\left|\frac{1}{n}\right|<ε$ 成立，就可以证明原命题成立。