Question

简单的函数题目

已知f(x)=x^3+bx^2+cx+d在（-∞，0）上是增函数，在〔0，2〕上是减函数，且方程f(x)=0有一个根是2，证明：f（1)≥2

Answer 1

对f(x)求导 得
f'(x)=3x^2+2bx+c

因为f(x)是连续函数,又由题目可以知道 f(x)在x=0处有个转折, 所以f'(0)=0
得到 c=0

由因为f(x)连续,且在(0,2)上为减函数,所以 f'(2)<=0
即 12+4b<=0 得到 b<= -3

将x=2带入f(x)=0 得到
8+4b+0+d=0
得到 d=-8-4b

f(1)=1+b+c+d = 1+b+0+(-8-4b) = -7-3b

因为 b<= -3

所以 -7-3b>=2
所以 f(1)>=2

Answer 2

∵f(2)=0,∴d=-4(b+2), f'(x)=3x^3+2bx=0 的两个根分别是x1=0,x2= -2b/3
∵函数f(x)在[0,2]上是减函数，
∴x2= -2b/3≥2
∴b≤-3
∴f(1)=b+d+1=b-4(b+2)+1=-7-3b≥2

Answer 3

f(2)=2
则8+4b+2c+d=0 .....1
对f(x)求导，得f(x)导=3x^2+2bx+c
又f(0)导=0
则c=0
代入1得
8+4b+d=0
即d=-8-4b
在(0,2)上为减函数
3x^2+2bx<0
则3x+2b<0
当x=2时6+2b<=0
3+b<=0
f(1)=1+b+d=-7-3b=2-3(3+b)>=2