Question

求高阶函数：f(x)=e^xcosx,求f^(n)(x)

参考答案为－4e^xcosx，不知它怎么来的

Answer 1

f'(x)=e^xcosx-e^xsinx
f''(x)=e^xcosx-e^xsinx-e^xsinx-e^xcosx=-2e^xsinx
f'''(x)=-2e^xsinx-2e^xcosx
f''''(x)=-2e^xsinx-2e^xcosx-2e^xcosx+2e^xsinx=-4e^xcosx=-4f(x)
所以f^(4k)(x)=(-4)^k*f(x)=(-4)^k*e^xcosx
f^(4k+1)(x)=(-4)^k*f'(x)=(-4)^k*e^x(cosx-sinx)
f^(4k+2)(x)=(-4)^k*f''(x)=-2*(-4)^k*e^xsinx
f^(4k+3)(x)=(-4)^k*f'''(x)=-2*(-4)^k*e^x(sinx+cosx) （k为自然数）

Answer 2

已知e^x的任何阶导数都是e^x，而cosx的导数是周期函数，周期为4，周期内分别为-sinx，
-cosx,sinx,cosx，刚好为cos（x+nπ/2）
则
f^(n)(x)=e^xcos(x+nπ/2）