Question

设x,y属于R,2x^2+3y^2=6x,求x^+y^2+2x的最大值和最小值

三角代换

Answer 1

2x²-6x+3y²=0
2(x-3/2)²+3y²=9/2
(4/9)(x-3/2)²+(2/3)y²=1
令x=3/2 +3/2cosA
y=√(3/2) sinA
所以 S=x²+y²+2x=9/4 +(9/2)cosA+9cos²A/4+3sin²A/2+3+3cosA
=21/4 +(15/2)cosA+(9/4)cos²A+(3/2)(1-cos²A)
4S=21+30cosA+9cos²A+6-6cos²A
=3cos²A+30cosA+27
=3(cosA+5)²-48
当cosA=1,4S 有最大值60，x^2+y^2+2x有最大值 15
当cosA=-1,4S 有最小值0，x^2+y^2+2x有最小值 0

Answer 2

原题有一点错，好像是2x^2+3y^2=6x, 求 x^2+y^2+2x ……
因为 2x^2+3y^2=6x所以 3y^2 = 6x-2x^2 y^2 = 2x-(2/3)x^2
x^2+y^2+2x=x^2+2x-(2/3)x^2 +2x=(1/3)x^2 +4x
上式只有极小值4²/（4×1/3）=12