Question

已知2x²+3y²=6x 则x²+y²+2x的最大值

希望过程可以详细点!!

Answer 1

∵2x²+3y²=6x

∴y²=2x-2x²/3
∴x²+y²+2x=x²+2x+2x-2x²/3
=1/3*x²+4x
=1/3*(x²+12x)
=1/3*(x+6)²-12
而y²=2x-2x²/3≥0，即x²-3x≤0
∴0≤x≤3
∴当x=3时，1/3*(x+6)²-12取最大值，为1/3*(9+36)=15
即x²+y²+2x的最大值为15

Answer 2

3y^2=6x-2x^2
y^2=2x-2x^2/3
f(x)=x^2+2x-2x^2/3+2x
=1/3x^2+4x
=1/3(x^2+12x)
=1/3((x+6)^2-36)
=1/3(x+6)^2-12
3y^2=6x-2x^2>=0
3x-x^2>=0
x^2-3x<=0
x(x-3)<=0
0<=x<=3
x=3,fmax=1/3*3^2+4*3=3+12=15
最大值是15
方法2：参数法
2x^2-6x+3y^2=0
2(x^2-3x)+3y^2=0
2((x-3/2)^2-9/4)+3y^2=0
2(x-3/2)^2-9/2+3y^2=0
2(x-3/2)^2+3y^2=9/2
4(x-3/2)^2+6y^2=9
4(x-3/2)^2/9+2y^2/3=1
2(x-3/2)/3=cosa
6^1/2/3y=sina
x-3/2=3cosa/2
x=3/2(cosa+1)
0<=x<=3,0<=3/2(cosa+1)<=3,0<=cosa+1<=2,-2<=cosa<=1

y=6^1/2sina/2
原式=9/4(cosa+1)^2+3/2sin^2a+3(cosa+1)
=9/4cos^2a+9/2cosa+9/4+3/2sin^2a+3cosa+3
=9/4cos^2a+9/2cosa+9/4+3/2(1-cos^2a)+3cosa+3
=9/4cos^2a+9/2cosa+9/4+3/2-3/2cos^2a+3cosa+3
=3/4cos^2a+15/2cosa+27/4
t=cosa
f(t)=3/4t^2+15/2t+27/4
=3/4(t^2+10t+9)
=3/4(t+1)(t+9)(-1<=t<=1)
t=1,fmax=3/4+15/2+27/4=15

Answer 3

已知2x²+3y²=6x，得x>0 且得y²=2x-2/3x²=2x（1-1/3x）>=0得0<x<=3
x²+y²+2x
=x²+2x-2/3x²+2x
=1/3x²+4x
=1/3(x+6)²-12
取x=3得x²+y²+2x的最大值=1/3(3+6)²-12=15

Answer 4

解：3y²=6x -2x²，推出，y²=2x-2/3x²
所以x²+y²+2x=x²+2x-2/3x²+2x=1/3x²+4x
令M=1/3x²+4x 题目变成求一元二次函数的最值了
本题只有最小值。

Answer 5

首先由第一个等式可以得出X^2+Y^2=X^2/3+2X，将之带入第二个式子可以得出X^2+Y^2+2X=（X+6）^2/3-12.画出此时的抛物线的图
再由第一个式子得出2X（X-3）=-3Y^2<=0即可以得出X的范围为0<=X<=3.
这样就可以得出最大值为X=3时取得即（3+6）^2/3-12=15