Question

解几道向量的题

1设向量m的绝对值为1，向量n的绝对值为2，2m+n与m-3n垂直，a=4m-n,b=7m+2n,则向量a和b的夹角为_________
2以知四边形ABCD中，向量AB=a-2c,向量CD=5a+6b-8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F，则向量EF
=__________
3若A（x,5-x,2x-1）,B(1,x+2,2-x),当向量AB的绝对值取最小时x=_______

要过程

Answer 1

1设向量m的绝对值为1，向量n的绝对值为2，2m+n与m-3n垂直，a=4m-n,b=7m+2n,则向量a和b的夹角为_________
解：2m+n与m-3n垂直,
∴0=（2m+n)(m-3n)=2m^2-5mn-3n^2=5-5mn,
∴mn=1.
a^2=16m^2-8mn+n^2=64-8+1=57,a=√57.
b^2=49m^2+28mn+4n^2=228,b=2√57.
ab=(4m-n)(7m+2n)=28m^2+mn-2n^2=111,
cos<a,b>=111/114,
<a,b>=arccos(111/114).

2已知四边形ABCD中，向量AB=a-2c,向量CD=5a+6b-8c,对角线AC、BD的中点分别为E、F，则向量EF=__________
解：设BC,DA的中点分别为G,H.
四边形ABCD中，向量AB+BC+CD+DA=0，
∴BC+DA=-(AB+CD),
BG+HA=BC/2+DA/2=(-1/2)(AB+CD),
对角线AC、BD的中点分别为E、F,
∴向量GF=CD/2=EH,
∴向量EF=EH+HA+AB+BG+GF
=CD-(1/2)(AB+CD)+AB
=(1/2)(AB+CD)
=(1/2)(a-2c+5a+6b-8c)
=3a+3b-5c.

3若A（x,5-x,2x-1）,B(1,x+2,2-x),当向量AB的绝对值取最小时x=_______
解：AB^2=(X-1)^2+(2x-3)^2+(3x-3)^2
=x^2-2x+1
+4x^2-12x+9
+9x^2-18x+9
=14x^2-32x+19,
∴当|AB|取最小值时x=8/7.