Question

求函数y=(2x^2-3x+4)/(x+2) 的最值，其中x属于[-1,2]

Answer 1

y=(2x²-3x+4)/(x+2)
yx+2y=2x²-3x+4
2x²-(3+y)x+（4-2y）=0 必有实根
△=(3+y)²-8（4-2y）=y²+22y-23≥0
(y+23)(y-1)≥0
y≥1或y≤-23
当y=1时，x=1
当y=-23时，x=-5
由此可以知道，x=1时取最小值y=1；x=-5时取最大值y=-23。

x属于[-1,2]，x=1时取最小值y=1可以肯定。但是否有最大值尚不知道。

当x1<x2时，
y1-y2
=[2(x1+2)+18/(x1+2)-11]-[2(x2+2)+18/(x2+2)-11]
=2(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]·[(x1+2)(x2+2)-9]
其中x属于[-1,2]，2(x1-x2)/[(x1+2)(x2+2)]<0；当x属于[-1,1]，x+2属于[1,3]，(x1+2)(x2+2)-9<0；当x属于[1,2]，x+2属于[3,5]，(x1+2)(x2+2)-9>0
即：当x属于[-1,1]且x1<x2时，y1-y2>0，y1>y2，为减函数；当x属于[1,2]且x1<x2时，y1-y2<0，y1<y2，为增函数
所以最大值必在x属于[-1,2]的端点处取得, 由f(-1)=9, f(2)=3/2, 得最大值y=9

综上所述：x属于[-1,2]，当x=1时取最小值y=1；当x=-1时最大值y=9。

Answer 2

y=(2x^2+4x-7x-14+18)/(x+2)=2x-7+18/(x+2)=2(x+2)+18/(x+2)-11>=2√(2*18)-11=1
当2(x+2)=18/(x+2)，即x=1时取最小值ymin=1.
最大值必在端点取得, 由y(-1)=9, y(2)=3/2, 得最大值ymax=y(-1)=9