Question

已知扇形的圆心角是A，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C（C>0)，当A为多少弧度时该扇形的面积最大

答案是：C=l+2R
=|A|R+2R
R=C/(A+2)
S=1/2×A×[C/(A+2)]²
=C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16
当且仅当A=4/A，即A=2(A=-2舍去﹚时，扇形面积有最大值
其中的C²/16是如何来的请大家帮忙解释一下！！

Answer 1

C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚
=C^2* A/2(A^2+4A+4)
所以只需证A/2(A^2+4A+4)<=1/16
因为A不等于0，不然面积为0
上下同除A
=1/2(A+4/A+4)
A+4/A>=2根号(A*4/A)=2*2=4,等号成立时 A=4/A,A=2
2(A+4/A+4)>=2*(4+4)=16
1/2(A+4/A+4)<=1/16
C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16

Answer 2

就是这一步对吧：C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16

因为：A×1/﹙A²+4A+4﹚=1/(A+4+4/A)
其中A+4/A>=2 * ( A * (4/A) )^(1/2)=4 （基本不等式）
所以 (A+4+4/A)>=8
则 1/(A+4+4/A)<=1/8
所以 C²/2×A×1/﹙A²+4A+4﹚≤C²/16