已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点,满足f(1+x)=f(1-x)且方程f(x)=x有两个相等的实数根
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2011-11-05 · 知道合伙人教育行家
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∵f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点
∴0 = 0+0+c,∴c=0
∴f(x)=ax2+bx
∵f(1+x)=f(1-x)
∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x),∴4ax-2bx=0,∴b=-2a
∴f(x)=ax^2-2ax
∵f(x)=x有两个相等的实数根
∴ax^2-2ax=x,∴ax^2-(2a+1)x = 0,∴ax{x-(2a+1)/a}=0
x1=0,x2=(2a+1)/a=0
∴2a+1=0
a = -1/2
∴f(x) = -1/2x^2+x
f(x)开口向上,对称轴x=-1/(2*(-1/2)) = 1
在区间[-1,2],极大值就是最大值:
∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2
∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远
∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2
∴0 = 0+0+c,∴c=0
∴f(x)=ax2+bx
∵f(1+x)=f(1-x)
∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x),∴4ax-2bx=0,∴b=-2a
∴f(x)=ax^2-2ax
∵f(x)=x有两个相等的实数根
∴ax^2-2ax=x,∴ax^2-(2a+1)x = 0,∴ax{x-(2a+1)/a}=0
x1=0,x2=(2a+1)/a=0
∴2a+1=0
a = -1/2
∴f(x) = -1/2x^2+x
f(x)开口向上,对称轴x=-1/(2*(-1/2)) = 1
在区间[-1,2],极大值就是最大值:
∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2
∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远
∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2
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1、过原点说明f(0)=0也就是说c=0原解析式变为f(x)=ax²+bx
f(1+x)=f(1-x)代入得a(1+x)²+b(1+x)=a(1-x)²+b(1-x)化简得到2a+b=0①
f(x)=x有两个相等的实数根得到ax²+bx=x化简下得到ax²+(b-1)x=0有两个相等的实根则△=0
(b-1)²=0②
由①②解得a=-1/2 b=1解析式为f(x)=-1/2x²+x
2、f(x)的对称轴为x=1 且开口向下 则在区间[-1,1]为增函数、[1,2]为减函数所以f(-1)=-3/2为最小值、f(1)=1/2为最大值
f(1+x)=f(1-x)代入得a(1+x)²+b(1+x)=a(1-x)²+b(1-x)化简得到2a+b=0①
f(x)=x有两个相等的实数根得到ax²+bx=x化简下得到ax²+(b-1)x=0有两个相等的实根则△=0
(b-1)²=0②
由①②解得a=-1/2 b=1解析式为f(x)=-1/2x²+x
2、f(x)的对称轴为x=1 且开口向下 则在区间[-1,1]为增函数、[1,2]为减函数所以f(-1)=-3/2为最小值、f(1)=1/2为最大值
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(1)由题可知,,1为f(x)的对称轴
∴(-b)/2a=1 ∴b=-2a ∴f(x)=ax^2-2a2x
又∵方程f(x)=x有两个相等的实数根且f=-1/(0)=0
∴直线与抛物线的交点为原点
对二次函数求导得f'(x)=2ax-2a,直线的导数为y=1
∴f'(0)=-2a=1 ∴a=-1/2
∴f(x)=(-1/2)x^2+x
(2)由(1)可知,函数在[-1,1]上递增,在[1.2]上递减
∴f(2)=0 f(-1)=-2/3 f(1)=1/2
∴f(X)在区间[-1,2]上的最大值为f(1)=1/2,最小值为f(-1)=-2/3
∴(-b)/2a=1 ∴b=-2a ∴f(x)=ax^2-2a2x
又∵方程f(x)=x有两个相等的实数根且f=-1/(0)=0
∴直线与抛物线的交点为原点
对二次函数求导得f'(x)=2ax-2a,直线的导数为y=1
∴f'(0)=-2a=1 ∴a=-1/2
∴f(x)=(-1/2)x^2+x
(2)由(1)可知,函数在[-1,1]上递增,在[1.2]上递减
∴f(2)=0 f(-1)=-2/3 f(1)=1/2
∴f(X)在区间[-1,2]上的最大值为f(1)=1/2,最小值为f(-1)=-2/3
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2011-11-05
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要自己多动脑哦,虽然现在网络很方便,但不要过分依赖电脑哦。我相信只精细要你静下心来会想到答案的。
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1、
f(1+x)=f(1-x)
则对称轴为x=[(1+x)+(1-x)]/2=1
所以
-b/2a=1 ①
函数经过点(0,0)
则
f(0)=c=0 ②
f(x)=x有两个相等实根
即ax²+(b-1)x+c=0有两个相等实根
所以
△=(b-1)²-4ac=0 ③
联立①②③解得
a=-1/2
b=1
c=0
所以
f(x)=-1/2 x²+x
2、
f(x)对称轴x=1包含于[-1,2],且a<0
所以
f(x)在x=1处取得最大值f(1)=1/2
f(-1)=-3/2
f(2)=0
所以
f(x)在[-1,2]上最小值为f(-1)=-3/2
最大值为f(1)=1/2
f(1+x)=f(1-x)
则对称轴为x=[(1+x)+(1-x)]/2=1
所以
-b/2a=1 ①
函数经过点(0,0)
则
f(0)=c=0 ②
f(x)=x有两个相等实根
即ax²+(b-1)x+c=0有两个相等实根
所以
△=(b-1)²-4ac=0 ③
联立①②③解得
a=-1/2
b=1
c=0
所以
f(x)=-1/2 x²+x
2、
f(x)对称轴x=1包含于[-1,2],且a<0
所以
f(x)在x=1处取得最大值f(1)=1/2
f(-1)=-3/2
f(2)=0
所以
f(x)在[-1,2]上最小值为f(-1)=-3/2
最大值为f(1)=1/2
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