Question

已知二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图像经过坐标原点，满足 f（x+1）=f（1-x），且方程f（x）=x

已知二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图像经过坐标原点，满足 f（x+1）=f（1-x），且方程f（x）=x有两个相等的实根。
1）求该二次函数的解析式。
2）求上述二次函数在区间【-1，2】上的最大值和最小值。

函数学的太差，求详细过程，每一个步骤。分多的是，答得好加分。

Answer 1

f(x)=ax2+bx+c的图像经过坐标原点
∴0 = 0+0+c，∴c=0
∴f(x)=ax2+bx

∵f（1+x）=f（1-x）
∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x)，∴4ax-2bx=0，∴b=-2a
∴f(x)=ax^2-2ax

∵f（x）=x有两个相等的实数根
∴ax^2-2ax=x，∴ax^2-(2a+1)x = 0，∴ax{x-(2a+1)/a}=0
x1=0，x2=(2a+1)/a=0
∴2a+1=0
a = -1/2
∴f(x) = -1/2x^2+x

f(x)开口向上，对称轴x=-1/(2*(-1/2)) = 1
在区间[-1,2]，极大值就是最大值：
∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2
∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远
∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2

追问

∴a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x) 这步是怎么来的？看不懂

追答

∵f（1+x）=f（1-x）把1+x跟1-x代入就得出这个式子。

Answer 2

解：1)因为二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图像经过坐标原点 满足 f（x+1）=f（1-x）

所以c=0 ，对称轴x=-b/2a=1
又因为且方程f（x）=x有两个相等的实根
所以f（x）=ax²+bx=x有两个相等的实数根，即

ax²+（b-1）x=0中
△=（b-1）^2-4*a*0=0 解得b=1
将b=1代入x=-b/2a=1解得
a=-1/2
所该二次函数的解析式为f（x）=（-1/2）x²+x
2）由第一问知该二次函数的对称轴为x=1且 a=-1/2＜0
所以该抛物线的开口向下，在x=1处取得最大值f（1）=（-1/2）*1²+1=1/2
在区间【-1，2】上
f（-1）=（-1/2）*（-1）²-1=-3/2
f（2）=（-1/2）*2²+2=0
所以在区间【-1，2】上，该函数的最大值为f（1）=1/2，最小值为f（-1）=-3/2

Answer 3

1，因为函数过原点，所以当x=0时，y=0。代入方程得c=0
2.二次函数的两函数值相等，则证明这两个点关于对称轴对称，所以对称轴的值为(x+1+1-x)/2=1.对称轴公式-b/2a=1
3. f（x）=x,即 f（x）=ax²+bx+c=x 即(b-1)²-4ac=0
联立三方程解得a=-1/2 b=1 c=0

f(x)开口向上，对称轴x = 1 ,对称轴在区间内在区间[-1,2]，所以最大值即为顶点对应的y值： ∴最大值=f(1)=-1/2+1=1/2 ∵x1=-1比x2=2距离对称轴x=1更远 ∴最小值=f(-1)=-1/2-1=-3/2

Answer 4

（1）因为二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图像经过坐标原点，故c=0.
因f（x+1）=f（1-x），得a（x+1）²+b(x+1)=a(1-x)²+b(1-x)

化简得：b=-2a。
因f（x）=x，知ax²+bx=x，知ax²+（b-1）x=0，得判别式=(b-1)²=0，知b=1,a=-1/2

所以f(x)=-1/2x²+x
（2）x=-b/2a=1,开口向下，所以函数在（-无穷，1】增函数，在（1，+无穷）为减函数。
所以在区间【-1，2】最大值为f（1）=-1/2+1=1/2,最小值为f（-1）=-1/2-1=-3/2