Question

高中数学~~ 已知二次函数f(x)=ax²+bx，满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根。

已知二次函数f(x)=ax²+bx(a,b为常数，且a≠0）,满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根。
①求f(x)的解析式？
②是否存在实数m,n(m＜n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[3m,3n]，如果存在，求出m,n的值，如果不存在，说明理由

麻烦写出过程，谢谢，回答后追加悬赏，急用！

Answer 1

解：由题意知：
(1).f(1+x)=f(1-x）
对称轴是x=1
所以-b/(2a)=1
b=-2a

ax²+bx=x
ax²+(b-1)x=0
x[ax+(b-1)]=0
x=0,x=-(b-1)/a
等跟则-(b-1)/a=0
b=1
a=-b/2=-1/2
f(x)=-x²/2+x

(2)
f(x)=-(1/2)x^2+x=-(1/2)(x-1)^2+(1/2)
当x=1, f(x)有极大值1/2
如果x=1, 在区间[m,n]上，那么3n=1/2, n=1/6, 则x<=1/6, 矛盾
所以：x=1不在区间[m,n]上
当m<n<1
f(x)在区间[m,n]单调递增
所以：3m=f(m)=-(1/2)m^2+m
m^2+4m=0
而：3n=f(n)=-(1/2)n^2+n
n^2+4n=0
所以，m,n是方程x^2+4x=0的两根
x(x+4)=0
所以：m=-4, n=0

当1<m<n
f(x)在区间[m,n]单调递减
所以：3m=f(n)=-(1/2)n^2+n
n^2-2n+6m=0 ---(1)
而：3n=f(m)=-(1/2)m^2+m
m^2-2m+6n=0 ---(2)
(2)-(1)得：
(m-n)(m+n-8)=0
因为m-n<0, 所以：m+n-8=0
n=8-m ---(3)
(3)代入(2)得：
m^2-2m+48-6m=0
m^2-8m+48=0 无解

综合以上：
m=-4, n=0

http://zhidao.baidu.com/link?url=0cCpNlTOkHKy2GKABOE6zLNKvk92o8mdnIWojl2OrPNZpXW81ei3WEVPYrWz_uD5d9aS-y7eMe3OF4TnqOVfpK

Answer 2

分析：
（1）由已知中f （1+x）=f （1-x），可得f（x）的图象关于直线x=1对称，结合方程f （x）=x有等根其△=0，我们可构造关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，即可得到f （x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，我们根据f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[3m，3n]，我们易判断出函数在[m，n]的单调性，进而构造出满足条件的方程，解方程即可得到答案．
解答：
解：（1）∵f（x）满足f（1+x）=f（1-x），∴f（x）的图象关于直线x=1对称．
而二次函数f（x）的对称轴为x=-b/2a，∴-b/2a=1①
又f（x）=x有等根，即ax2+（b-1）x=0有等根，∴△=（b-1）2=0．②
由①，②得 b=1，a=-1/2,∴f(x)=-1/2x2+x
（2）∵f（x）=-1/2(x-1)∧2+1/2≤1/2
如果存在满足要求的m，n，则必需3n≤1/2，∴n≤1/6从而m＜n≤1/6＜1，而x≤1，f（x）单调递增，
f(m)＝−1/2m2+m＝3m
f(n)＝−1/2n2+n＝3n
可解得m=-4，n=0满足要求．
∴存在m=-4，n=0满足要求．

追答

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Answer 3

方程f(x)=x有等根什么意思？

Answer 4

不懂请问
解：
1)
由f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-(1/2)x^2+x;
2)分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-4 n=0

Answer 5

因为ax^2+bx-x=0有等根
所以b^2+4a=0

a(1+x)^2+b(1+x)=a(1-x)^2+b(1-x)
得2a+b=0

解得a= -1 b= 2