Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a.b为常数,a不等于0).满足条件f(1+x)=f(1-x),且方程f(x)=x有等根。

是否存在m,n(m＜n),使f(x）的定义域和值域分别为[m,n]和[3m，3n]如果存在求出m,n的值

Answer 1

解：
1)
由f(1+x)=f(1-x)可知对称轴为 x=1
所以b/(-2a)=1 b=-2a;
因为ax^2+bx=x 即 ax^2+(b-1)x=0有重根
显然x1=x2=0 所以 b=1 a=-1/2
所以f(x)=-(1/2)x^2+x;
2)分别讨论：
若1=<m<n 有函数的单调性可知：
3m=f(n)=-1/2n^2+n 3n=-1/2m^2+m
两式子相减得到3(m-n)=1/2(m+n)(m-n)-(m-n)
m+n=8 m^2-8m+48=0 m，n无解；
若m<n<=1 又单调性知 3m=-1/2m^2+m 3n=-1/2n^2+n
此时m=-4 n=0满足条件；
若m<1<n 由于此时函数的最大值必为X=1时取到为1/6；
所以 3n=1/2 所以 n=1/6 这与n>1矛盾
综合上述 存在这样的m，n
m=-4 n=0

Answer 2

楼上正解