Question

已知二次函数f（x）=ax^2+bx(a b为常数,a不等于0)满足条件f(2)=0，方程f(x)=x有等根.

(1)求f(x)的解析式
(2)问是否存在实数m,n(m＜n),使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]?如存在,写出m,n的值.如不存在.说明理由
要详细过程.谢谢!!!

Answer 1

解：（1）∵方程ax*x＋（b－1）x＝0（a≠0）有等根， ∴ △=（b-1)(b-1)-4a*0=0 推出b=1 又f（2）＝0，∴4a＋2b＝0．∴ a=-1/2．∴f(x)=(-1/2)x*x+x ． （2）∵f(x)=(-1/2)(x-1)(x-1)+1/2小于等于1/2 ，∴ 2n小于等于1/2，即 n小于等于1/4．又二次函数 y=(-1/2)(x-1)(x-1)+1/2的对称轴方程为x＝1，∴当n小于等于1/4 时，f（x）在〔m，n〕上为增函数， 设m、n存在，则f(m)=2m和f(n)=2n 即 (-1/2)mm-m=0 推出m=0或m=-2(-1/2)nn-n=0 推出n=0或n=-2∵ m<n小于等于1/4，∴m=-2,n=0 即存在实数m＝－2，n＝0使f（x）的定义域为〔－2，0〕，值域为〔－4，0〕．