Question

已知二次函数f(x)=ax^2+bx(a,b为常数且a不等于0）满足条件f(2)=0且方程f(x)=x有等根

是否存在实数m,n（m<n),使f(x)的定义域和值域分别为《m,n》和《2m,2n》,若存在，求出m,n的值,若不存在，说明理由

Answer 1

f(x)-x=ax^2+(b-1)x=0-->x=0, (1-b)/a, 因为两根相等，所以有：b=1
f(2)=4a+2b=4a+2=0---> =a=-1/2
因此f(x)=-x^2/2+x=-1/2(x-1)^2+1/2,

f(x)开口向下，f(1)为最大值1/2
1)如果n<=1,则此[m,n]区间是单调增的，最大最小值都在端点取得：
f(m)=-m^2/2+m=2m--> m=0 or -2
f(n)=-n^2/2+n=2n--> n=0 or -2
由此取m=-2, n=0,
2)如果m>=1,则此[m,n]区间是单调减的，最大最小值都在端点取得：
f(m)=-m^2/2+m=2n
f(n)=-n^2/2+n=2m
两式相减得： (n^2-m^2)/2+(m-n)=2(n-m)
因n-m<>0, 所以解得(n+m)/2-1=2--> n+m=6
代入其中一个方程：-m^2/2+m=2(6-m)--->m^2-6m+24=0-->无实根
3) 如果m<1<n,此[m,n]区间上最大值为1/2=2n, 即n=1/4, 不符。
因此综合以上结果，只有一组m=-2, n=0满足条件。
定义域为[-2,0]，值域为[-4,0]