Question

已知函数f(x)=loga(a^x-1),(a>0,且a不等于1)，1.求f(x)的定义域， 2.f(x)的单调性

3.f(2x)=f^-1(x) <就是反函数>

Answer 1

1）
先求定义域 a^x-1>0 a^x>a^0
2）
讨论: a>1时，定义域 x>0
此时原函数是y=logaU与U=a^x-1两函数的复合
前者是增函数，后者也是增函数（a>1）,单调性复合也是增函数
0<a<1时，定义域 x<0
前者是减函数，后者也是减函数（0<a<1）,单调性复合还是增函数
综上：a>1时，原函数在（0，+无穷大）是增函数
0<a<1时，原函数在（-无穷大，0）是增函数
3)
f^-1(x)＝loga(a^x+1)
loga(a^2x-1)＝loga(a^x+1)
a^2x-1=a^x+1
a^2x-a^x-2=0
设t=a^x>0
t^2-t-2=0
(t-2)(t+1)=0
t=2=a^x
x=loga(2)

Answer 2

先求定义域a^x-1>0a^x>a^0
讨论a>1时，定义域x>0
此时原函数是y=logaU与U=a^x-1两函数的复合
前者是增函数，后者也是增函数（a>1）,单调性复合也是增函数
0<a<1时，定义域x<0
前者是减函数，后者也是减函数（0<a<1）,单调性复合还是增函数
综合：a>1时，原函数在（0，+无穷大）是增函数
0<a<1时，原函数在（-无穷大，0）是增函数
f^-1(x)＝loga(a^x+1)
loga(a^2x-1)＝loga(a^x+1)
a^2x-1=a^x+1
a^2x-a^x-2=0
设t=a^x>0
t^2-t-2=0
(t-2)(t+1)=0
t=2=a^x
x=loga(2)