Question

设f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且f''(x)不等于0，证明：

(1)若给定(-1，1)内的x不等于0，存在唯一的a属于(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf'(ax)；
(2)对于(-1，1)内任意的x不等于0，当x趋向于0，有lima=0.5

Answer 1

1）证存在:因为 f''(x)不等于0
所以f'(x)在定义域内单调且原函数f(x)在定义域内连续可导
令x属于(0,1)，则在0的区间(0，x)内必有一点ζ，满足
f'(ζ)=[f(x)-f(0)]/(x-0)=f(x)-f(0)]/x (0<ζ<x)
因为0<ζ<x , a属于(0，1)，令ζ=ax,所以在区间(0,ax)内必存在一点ζ满足f'(ζ)=[f(x)-f(0)]/x
移项,得f(x)=f(0)+xf'(ax)；
同理当X属于(-1,0)时，仍有命题。
证唯一:设存在两点ζ和k，满足两者的导数相等。
但由上得知f'(x)单调，这与在f'(x)有两点相等矛盾。
综上，存在唯一的a属于(0，1)，使得f(x)=f(0)+xf'(ax)；

2）用泰勒公式。当x0=0时，
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+o(x^2)，又由上题，f(x)=f(0)+xf'(ax)
一试减去二式，移项，得[f'(ax)-f'(0)]x=f''(0)x^2/2+o(x^2)
左右同除x^2 [f'(ax)-f'(0)]/x=f''(0)/2+o(1)
x->0得a->1/2

Answer 2

(1)存在性利用Lagrange中值定理，唯一性用反证法，对f'用Rolle定理
(2)f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2+o(x^2)，和f(x)=f(0)+xf'(ax)减一下得到
[f'(ax)-f'(0)]x=f''(0)x^2/2+o(x^2)
同除掉x^2再让x->0得a->1/2