Question

单调有界

若闭区间[a,b]上的单调有界函数f(x)能取到f(a)和f(b)之间的一切值，讨论f(X)在[a,b]上是否是连续函数。谢谢

Answer 1

连续。 不妨设f 单增， 如果单减， 考虑 -f 即可。
任给 a<x0<b, 任给 小t>0,
如果 f(a) < f(fx0)-t ， 则 存在 a < x1 < x0 使得 f(x1) = f(x0) - t， 否则取 x1 = a.
如果 f(b) > f(fx0)+t ， 则 存在 x0 < x2< b 使得 f(x2) = f(x0) + t， 否则取 x2 = b.

根据单调性， f([x1,x2]) 都落在 f(x0) 的 2t-领域 里。根据连续的定义知 f 在 x0 处连续。
在两个端点处， 只需考虑在区间内的一侧即可。