Question

对任意实数ab,定义:F(a,b)=1/2(a+b-|a-b|),若函数f(x)=x^2,g(x)=5/2x+3/2,h(x)=-x+2，那么函数

G(x)=F(f(x),g(x)),求h(x)的最大值。高中高一函数题

Answer 1

当a>=b, F(a,b)=(a+b-a+b)/2=b
当a<b, F(a,b)=(a+b+a-b)/2=a
因此F(a,b)=min(a,b)
p=F(f, g), G=F(p, h)
因此G为f,g, h中的最小值。
作三者的曲线，
f, g的交点为(-1/2, 1/4), (3,9
f, h的交点为（-2, 4) ,(1, 1)
g,h的交点为（1/7, 13/7)
G(x)=5/2x+3/2, x<=-1/2
G(x)=x^2, -1/2<x<=1
G(x)=-x+2, x>=1
Gmax=G(1)=1

追问

错了，是对任意实数ab,定义:F(a,b)=1/2(a+b-|a-b|),若函数f(x)=x^2,g(x)=5/2x+3/2,h(x)=-x+2，那么函数，G(x)=F(F(f(x),g(x)),h(x))求G(x)的最大值。

Answer 2

G(x)=F(f(x)，g(x))
=1/2[f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|]
=1/2[-x^2+3x+4-|-x^2+x+2|]
当-x^2+x+2≧0时，即-1≦x≦2时
G(x)=1/2(-x^2+3x+4+x^2-x-2)
=x+1
所以这时当x=2时取最大值3。
当-x^2+x+2＜0时，即x＜-1或x＞2时
G(x)=1/2(-x^2+3x+4-x^2+x+2)
=-x^2+2x+3
=-(x-1)^2+4
所以最大值3