Question

已知定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),且x＞0时，f(x)＞0 解不等式f(a^2-4)+f(2a+1)＜0

Answer 1

令x=y=0, f(0)=2f(0)--> f(0)=0
令x+y=0, 0=f(0)=f(x)+f(-x)--> f(-x)=-f(x), 为奇函数
令x>y, x-y>0, f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(x-y)>0，为增函数
故有：f(a^2-4)<-f(2a+1)=f(-2a-1)
a^2-4<-2a-1, 得-3<a<1

Answer 2

分三步走：第一步：证明函数是奇函数，第二步：证明函数是增函数，第三步：解不等式。
（1）在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=y=0,得
f(0)=f(0)+f(0),所以 f(0)=0
再在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x,得
f(0)=f(x)+f(-x),所以f(-x)=-f(x)
所以 f(x)是奇函数
（2）在设x1<x2 ，在f(x+y)=f(x)+f(y)中，令x=x2-x1,y=x1，则有x>0且x+y=x2
于是 f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)=f(x)>0
所以，f(x)是R上的增函数。
（3）因为f(x)是奇函数，所以不等式f(a²-4)+f(2a+1)＜0可化为
f(a²-4)<f(-2a-1)
又f(x)是R上的增函数，所以
a²-4<-2a-1
a²+2a-3<0
所以不等式的解为 -3<a<1

Answer 3

f(a^2-4)+f(2a+1)＜0
f(a^2-4+2a+1)<0
x＞0时，f(x)＞0
因此a^2-4+2a+1＜0
(a-1)(a+3)<0
-3<a<1