Question

设函数y=f（x)是定义在（0，正无穷）上的减函数，并且满足f(xy)=f(x)+f(y），f(1/3)=1 1

(1) 求f(1)的值 （2）如果f(x）+f(2-x)小于2，求x的取值范围。
请写出具体过程和解析

Answer 1

解：（1）·因为f(xy)=f(x)+f(y）
令x=1,所以有f(y)=f(1)+f(y)
所以f(1)=0
（2）因为f(x）+f(2-x)<2
f(x(2-x))<2
因为f(1/3)=1
所以f(1/3*1/3)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为函数y=f（x)是定义在（0，正无穷）上的减函数
所以x(2-x)>1/9
所以1-三分之2倍根号2<1+三分之2倍根号2

Answer 2

1）f(xy)=f(x)+f(y),
f(1/3)=f(1*1/3)=f(1)+f(1/3)=f(1)+1,
1=f(1)+1
f(1)=0,
2）f（x）+f（2-x）=f[x*(2-x)]<2=f(1/9)
f(1/9)=f(1/3)+f(1/3)=2
因为是减函数所以 x*(2-x)>1/9
解为1-2倍根号2/3<x<1+2倍根号2/3