Question

设α是n维向量 满足α^T*α=1 令A=E-α^T*α 证明 A是对称矩阵 A^2=A 即A是幂等矩阵 A不可逆

Answer 1

若α为n维列向量, 则 A 应该是 A=E-αα^T.

证明: (1) A^T = (E-αα^T)^T
= E^T-(α^T)^Tα^T
= E-αα^T
= A.
所以A是对称矩阵.

(2) A^2 = (E-αα^T)^2 = E - 2αα^T + α(α^Tα)α^T = E-αα^T = A.
即A^2 = A

(3) 若A可逆
则由 A^=A 得 A = E
则 αα^T = 0
即有 α = 0.
这与 α^Tα = 1 矛盾.
所以 |A| = 0.

Answer 2

题目都写错了，应该是A=E-αα^T
前两个结论自己验证，第三个结论只要利用Aa=0就行了。