Question

如图，抛物线与x轴交于A（x1,0）、B（x2,0）两点，且x1＜x2，与y轴交于点C（0,4），其中x1,x2是方程

x2－4x－12=0的两个根。
（1）求抛物线的解析式
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC与点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标

Answer 1

解：（1）∵x2-4x-12=0，
∴x1=-2，x2=6．
∴A（-2，0），B（6，0），
又∵抛物线过点A、Bm、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，求得 a=13，
∴抛物线的解析式为 y=13x2-43x-4；

（2）设点M的坐标为（，0），过点N△MN∥△ABC
作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△ABC．
∴ NHCO=AMAB，
∴ NH4=m+28，
∴ NH=m+22，
∴ S△CMN=S△ACM-S△AMN=12•AM•CO-12AM•NH，
= 12(m+2)(4-m+22)=-14m2+m+3，
= -14(m-2)2+4．
∴当m=2时，S△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）；

Answer 2

解：（1）∵x2-4x-12=0，
∴x1=-2，x2=6．
∴A（-2，0），B（6，0），
又∵抛物线过点A、Bm、C，故设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-6），
将点C的坐标代入，求得 a=13，
∴抛物线的解析式为 y=13x2-43x-4；

（2）设点M的坐标为（，0），过点N△MN∥△ABC
作NH⊥x轴于点H（如图（1））．
∵点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（6，0），
∴AB=8，AM=m+2，
∵MN∥BC，∴△MNA∽△ABC．
∴ NHCO=AMAB，
∴ NH4=m+28，
∴ NH=1+1/2M，
∴ S△CMN=S△ACM-S△AMN=12•AM•CO-12AM•NH，
= 12(m+2)(4-m+22)=-14m2+m+3，
= -14(m-2)2+4．
∴当m=2时，S△CMN有最大值4．
此时，点M的坐标为（2，0）；
3）∵点D（4，k）在抛物线y=13x2-43x-4上，
∴当x=4时，k=-4，
∴点D的坐标是（4，-4）．
①如图（2），当AF为平行四边形的边时，AF平行且等于DE，
∵D（4，-4），∴DE=4．
∴F1（-6，0），F2（2，0），
②如图（3），当AF为平行四边形的对角线时，设F（n，0），
则平行四边形的对称中心为（n-22，0），
∴E'的坐标为（n-6，4）．
把E'（n-6，4）代入y=13x2-43x-4，得n2-16n+36=0．
解得n=8±27．F3(8-27，0)，F4(8+27，0)，
综上所述F1（-6，0），F2（2，0），F3（8-27，0），F4（8+27，0）．

Answer 3

(1)y=k(x2-4x-12)
把C点代入上式
4=-12k
k=-1/3
y=-1/3x2+4/3x+4