Question

已知二次函数y=f(x)=x^2+bx+c的图像过点（1,13）,且函数y=f(x-1/2)是偶函数。

已知二次函数y=f(x)=x^2+bx+c的图像过点（1,13）,且函数y=f(x-1/2)是偶函数。
(1).求f(x)的解析式。
(2).函数y=f(x)的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意得1+b+c=13 ——1式
y=f(x-1/2)=(x-1/2)^2+b(x-1/2)+c是偶函数 则 f（x）=f（-x），f（0）=0
即 c=0 带入1式
得 b=12
所以 f(x)=x^2+12x
（2）假设存在，f(x)=x^2+12x=a^2 即 x^2+12x-a^2=0 在x为正整数 有解
△=b^2-4ac=144+4a^2>0恒成立 有解， 所以存在
x为正整数解，所以 x=-6+√(36+a^2)
a^2=64时，x=4 点为（4，8^2）

Answer 2

(1)函数y=f(x-1/2)是偶函数>>y=(x-1/2)^2+k>>b=-1
过点（1,13）>>c=13
y=f(x)=x^2-x+13
(2)存在。x=4时，y=5^2；x=13时，y=13^2