Question

已知函数f(x)=x^2 -alnx在(1,2]上增函数，g(x)=x-ax^(1/2)在（0,1）上为减函数。

（1.）求f(x)、g(x)的解析式 （2.）求证，当x＞0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解

Answer 1

(1)由题可得 f'(x)=2x-ax^(1/2) ≥0 在（1,2]上恒成立，即2x^2-a ≥0在（1,2】上恒成立,∴2-a≥0
∴a ≥2 g'(x)=1-(a/2)x^(-1/2)≤0 在（0≤0,1）上恒成立，即2x^(1/2)-a≤0在（0,1）上恒成立，,
,∴2-a≤0, a≤2 ∴a=2 f(x)=x^2-2lnx g(x)=x-2x^(1/2)
（2.）f(x)=g(x)+2 即x^2-2lnx=x-2x^(1/2)+2 令h(x)=x^2-2lnx-x+2x^(1/2)-2
h'(x)=(2x^2-x+x^(1/2)-2)/x x=1时，h'(x)=0 ，0＜x＜1时，h'(x)＜0，此时h(x）递减
x＞1时，h'(x)＞0，此时h(x）递增 ∴h(x）min =h(1)=0 ∴h(x)=0时有唯一解x=1
即当x＞0.方程f(x)=g(x)+2有唯一解

Answer 2

分析：（1）已知函数f（x）在（1，2]是增函数，g（x）在在（0，1）为减函数．则在（1，2]上f'（x）≥0恒成立，在（0，1）上g（x）≤0恒成立．
（2）由（1）不难给出方程f（x）=g（x）+2，然后构造函数，利用函数的单调性证明方程解的唯一性．
解答：解：（I） fʹ(x)=2x-ax，依题意f'（x）≥0，x∈（1，2]，即a≤2x2，x∈（1，2]．
∵上式恒成立，∴a≤2．①
又 gʹ(x)=1-a2x，依题意g'（x）≤0，x∈（0，1），即 a＞2x，x∈（0，1）．
∵上式恒成立，∴a≥2．②
由①②得a=2
∴ f(x)=x2-2lnx，g(x)=x-2x.
（II）由（I）可知，方程f（x）=g（x）+2， 即x2-2lnx-x+2x-2=0.
设 h(x)=x2-2lnx-x+2x-2，
则hʹ(x)=2x-2x-1+1x
令h'（x）＞0，并由x＞0，得 (x-1)(2xx+2x+x+2)＞0，解知x＞1
令h'（x）＜0，由x＞0，解得0＜x＜1
列表分析：菁优网
知h（x）在x=1处有一个最小值0
当x＞0且x≠1时，h（x）＞0，
∴h（x）=0在（0，+∝）上只有一个解．
即当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解
点评：利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）仅是f（x）在某个区间上为增函数（或减函数）的充分条件，在（a，b）内可导的函数f（x）在（a，b）上递增（或递减）的充要条件应是f′（x）≥0[或f′（x）≤0]，x∈（a，b）恒成立，且f′（x）在（a，b）的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f（x）在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′（x0）=0，甚至可以在无穷多个点处f′（x0）=0，只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f（x）是增函数（或减函数）求参数的取值范围时，应令f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立，解出参数的取值范围（一般可用不等式恒成立理论求解），然后检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′（x）不恒为0，则由f′（x）≥0[或f′（x）≤0]恒成立解出的参数的取值范围确定．