Question

已知圆x²＋y²＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P·Q两点，O为坐标原点，若OP⊥OQ，求实数m

Answer 1

x^2+y^2+x-6y+m=0与x+2y-3=0相交于P、Q两点
x=3-2y
x^2+y^2+x-6y+m=0
(3-2y)^2^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0
5y^2-20y+12+m=0
yP+yQ=4
yP*yQ=(12+m)/5
xP=3-2yP,xQ=3-2yQ
xP*xQ=(3-2yP)*(3-2yQ)=9-6(yP+yQ)+4yP*yQ
OP⊥OQ
k(OP)*k(OQ)=-1
(yP/xP)*(yQ/xQ)=-1
xP*xQ+yP*yQ=0
[9-6(yP+yQ)+4yP*yQ]+yP*yQ=0
9-6(yP+yQ)+5yP*yQ=0
9-6*4+5*(12+m)/5=0
m=3

Answer 2

由x+2y-3=0得 x=3-2y，
代入圆方程得 (3-2y)^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0，
化简得 5y^2-20y+m+12=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则 y1+y2=20/5=4，y1*y2=(m+12)/5，
所以 x1*x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1*y2=4(m+12)/5-15，
由 OP丄OQ知 x1*x2+y1*y2=0，
所以 m+12-15=0，
解得 m=3。

Answer 3

既然OP垂直于OQ，设圆的半径为R，O到PQ的距离为Rcos45度= R/根号2
而根据圆方程，我们知道O点坐标为(-1/2, 3)，它到直线距离为
|-1/2 +6-3|/根号5 = 根号5/2
所以R/根号2= 根号5/2, R= 根号(2.5)
所以圆的方程为(x+1/2)^2 + (y-3)^2 = 35/4 -m = 5/2
m = 35/4 - 5/2 = 25/4

Answer 4

由x+2y-3=0得 x=3-2y，
代圆方程得 (3-2y)^2+y^2+(3-2y)-6y+m=0，
化简得 5y^2-20y+m+12=0，
则 y1+y2=20/5=4，y1*y2=(m+12)/5，
所以 x1*x2=(3-2y1)(3-2y2)=9-6(y1+y2)+4y1*y2=4(m+12)/5-15，
由 OP丄OQ知 x1*x2+y1*y2=0，
m+12-15=0，
解得 m=3。

Answer 5

m=3