Question

如图6已知三角形ABC中AB=AC，D是三角形ABC外接圆劣弧AC上的点（不与AC重合），延长BD到E

（1）求证；AD的延长线平分角CDE
（2）若角BAC=30°三角形ABC中BC边上的高为2+根号3，求△ABC外接圆的面积

Answer 1

（1）设AD延长线有一点F,因为角ADC+角ABC=180度=角ADC+角CDF,所以角CDF=角ABC=角ACB=角ADB=角EDF,即角CDF=角EDF，故AD的延长线平分角CDE
（2）角BAC=30°，故角ABC=75°设BC边上的高为AM,AM垂直平方BC(因为是等腰三角形)，故圆心O在BC上（由三角形的三个内角知），角BAO=角ABO=15°，所以角OBM=60度，三角形BAC是直角三角形，角BOM=30度，故OB比OM=2比根号3，而OB=OA,OA+OM=2+根号3,所以半径OA=2,故圆的面积是4π

Answer 2

在基延长线上标上F，因为ABCD是圆的内接四边形，所以，角CDF=角ABC，（圆内接四边形的一个外角等于和它不相邻的内角），角EDF=角ADB（对顶角相等）AB=AC，得角ABC=角ACB（等边对等角）角ACB=角ADB（同弧所对的圆周角相等）所以角EDF=角CDF，即AD平分角CDE。
连接OC，则角COM（M为高线垂足）为30度，设半径为R，用勾股定理可得。圆的面积为（192-96根3）π。