Question

已知抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点

求证：当且仅当AB⊥x轴时，线段AB最短
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Answer 1

焦点F（p/2，0），设过焦点的直线方程为 x=my+p/2，代入抛物线方程得
y^2=2p(my+p/2)，
即 y^2-2pmy-p^2=0，
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 y1+y2=2pm，y1*y2=-p^2。
由此得 x1+x2=m(y1+y2)+p=2pm^2+p。
由抛物线线的定义，AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，
因此，AB=AF+BF=x1+x2+p=2pm^2+2p>=2p，
当且仅当 m=0 即 直线AB丄x轴时，AB最短，为2p。（通径最短）