Question

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象的最高点M是(-3，2)。且与x轴交于A、B两点，△AMB的面积为4。

已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象的最高点M是(-3，2)。且与x轴交于A、B两点，△AMB的面积为4。求这个二次函数的解析式

Answer 1

由题意得二次函数的最高点：(-b/2a ，4ac-b²/4a)
∵二次函数图象的最高点M是(-3，2)。
∴-b/2a=-3.....①
4ac-b²/4a=2.....②
∵二次函数图象与x轴交于A、B两点
∴x1+x2=-b/a ， x1x2=c/a
则|x1-x2|=√(x1+x2)²-4x1x2=√[(b²-4ac)/a²] ......③
∵△AMB的面积为4
∴(1/2)*|x1-x2|*2=4 .....④
根据①②③④式，可解得：a=-1/2 ， b=-3 ， c=-5/2
∴二次函数的解析式： y=(-1/2)x² - 3x - (5/2)

Answer 2

设解析式是y=a(x+3)^2+2=ax^2+6ax+9a+2
设与X轴的二个交点坐标分别是x1,x2
x1+x2=-6
x1x2=(9a+2)/a
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1x2=36-4(9+2/a)=-8/a.

S(AMB)=1/2*|x1-x2|*2=4
|x1-x2|=4

即-8/a=4^2,a=-1/2.
那么解析式是y=-1/2x^2-3x-2.5