Question

已知f(x+y)=f(x)+f(y)对于任何实数x，y都成立，且x＞0时，f(x)＞0，f(1)=1 判断函数f(x)的单调性

Answer 1

证：设任意x1，x2∈R，且x1<x2;
f(x+y)-f(x)=f(y),于是f(x2)-f(x1)=f（x2-x1)【注：这一步可令x+y=x2，x=x1解出x，y用x1，x2表示】
由于x1<x2，所以x2-x1>0
因为x＞0时，f(x)＞0所以f（x2-x1）>0，因此f(x2)-f(x1）>0,即f(x1）<f(x2）
所以函数f(x)单调递增。

Answer 2

单调递增
假设该函数存在减区间
则该区间必有两个数a，b
不妨设a＜b，b-a＞0，且f(a)＞f(b)
令x=a，y=b-a，则f(b)=f(a)+f(b-a)＞f(a)
矛盾，∴f(x)在R上单调递增

Answer 3

f(x+y)=f(x)+f(y) （1）
设 x1<x2,
在(1)式中令 x=x2- x1, y=x1,则有 x>0且 x+y=x2
于是 （1）化为
f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
所以 f(x2) - f(x1)=f(x2-x1)=f(x)>0 (x＞0时，f(x)＞0)
即 f(x1)<f(x2)
所以，函数f(x)在R上是增函数。

Answer 4

具体算法如前面几位回答的，但这些题是有简单方法的，它们都是抽象函数，你只用找个具体的函数符合题设要求就行了，比如你这个题我令f(x）=x，满足题设吧，很容易看出它是单调递增的函数。再如其他抽象函数f(x*y)=f(x)+f(y)，我们可以用对数函数来符合就行了，在高中这样的题一般都不是计算题，不用写步骤的，这样做就可以了，如果是大题你可以借鉴前面几位的回答。祝学习进步！

Answer 5

设x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>0,
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),
∴f(x)是增函数。