已知f(x+y)=f(x)+f(y)对于任何实数x,y都成立,且x>0时,f(x)>0,f(1)=1 判断函数f(x)的单调性
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单调递增
假设该函数存在减区间
则该区间必有两个数a,b
不妨设a<b,b-a>0,且f(a)>f(b)
令x=a,y=b-a,则f(b)=f(a)+f(b-a)>f(a)
矛盾,∴f(x)在R上单调递增
假设该函数存在减区间
则该区间必有两个数a,b
不妨设a<b,b-a>0,且f(a)>f(b)
令x=a,y=b-a,则f(b)=f(a)+f(b-a)>f(a)
矛盾,∴f(x)在R上单调递增
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f(x+y)=f(x)+f(y) (1)
设 x1<x2,
在(1)式中令 x=x2- x1, y=x1,则有 x>0且 x+y=x2
于是 (1)化为
f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
所以 f(x2) - f(x1)=f(x2-x1)=f(x)>0 (x>0时,f(x)>0)
即 f(x1)<f(x2)
所以,函数f(x)在R上是增函数。
设 x1<x2,
在(1)式中令 x=x2- x1, y=x1,则有 x>0且 x+y=x2
于是 (1)化为
f(x2)=f(x2-x1)+f(x1)
所以 f(x2) - f(x1)=f(x2-x1)=f(x)>0 (x>0时,f(x)>0)
即 f(x1)<f(x2)
所以,函数f(x)在R上是增函数。
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具体算法如前面几位回答的,但这些题是有简单方法的,它们都是抽象函数,你只用找个具体的函数符合题设要求就行了,比如你这个题我令f(x)=x,满足题设吧,很容易看出它是单调递增的函数。再如其他抽象函数f(x*y)=f(x)+f(y),我们可以用对数函数来符合就行了,在高中这样的题一般都不是计算题,不用写步骤的,这样做就可以了,如果是大题你可以借鉴前面几位的回答。祝学习进步!
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设x1<x2,则x2-x1>0,f(x2-x1)>0,
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),
∴f(x)是增函数。
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1)>f(x1),
∴f(x)是增函数。
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