Question

已知:如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,CD⊥AB,垂足是D,CE平分∠ACD,BF⊥CE,垂足是G，交AC于F，交CD于H

求证：DH=1/2AF

Answer 1

∵∠DHB=∠CHG,∠CHG+∠GCH=90,∠GCH+CED=90
∴∠DHB=∠CHG==∠CED
又∵△ABC中,∠ACB=90°AC=BC,CD⊥AB
∴CD=BD
∴ △CED≌△BHD
∴DH=DE,∠ECD=∠HBD=∠ACE (CE平分∠ACD)
过E作EM⊥AC于M
∵CE平分∠ACD
∴ EM=ED,而AE=√2EM
∴AE=√2DH
由∠HBD=∠ACE,∠A=∠A,知道△ACE∽△ABF
∴AF/AE=AB/AC=√2
∴AF=√2AE=√2(√2DH)=2DH

追问

没学过根号怎么办。你重新改一下

追答

好吧. 辅助线不变,上面已经证明了∠ECD=∠HBD=∠ACE =45/2,而∠CBD=45
∴∠HBD=1/2∠CBD,即BG平分∠CBD
又BG⊥CE,可以得出∠GCB=∠GEB
∴△BCE是等腰三角形∴BC=BE
又BF=BF,∠CBF=∠EBF
∴△BCF≌△BEF
∴∠FEB=∠FCB=90
∴FE⊥AE
又A=45
∴△AEF,△AEM,△EFM是等腰直角三角形
∴EM=AM=FM=1/2AF
即DH=1/2AF

追问

不对啊。我要的是辅助线做EN⊥AC于点N。你用这个给我证一下。

追答

那你把上面的M全改成N就行了

追问

不是。你的方法都出现EF了。可是我没有连接EF啊。我只做了垂直。

追答

那你把EF连上吧,难道题目规定只能那样作辅助线?

追问

似的。算了吧。一般人做不出来。我要删掉。谢了啊。

追答

下次提问时要把要求说清楚啊```

追问

嗯。。我会的。看你这么辛苦。奖励你一下了~

Answer 2

1/2，则可试着构造中位线
过d作垂线交cb于p,交bf于o,
则do即为三角形abc的中位线，也是三角形bcf,abf的中位线
即有do=1/2af；
由角gcb=67.5,角cgb=90,有角cbf=22.5,
bf平分角cbd,易有三角形bop相似cgh,
即有角dho=角doh,即dh=do