设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,y<0,f(1)=-2
1利用函数单调性定义证明函数y=f(x)是减函数2求函数y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值和最小值...
1利用函数单调性定义证明函数y=f(x)是减函数
2求函数y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值和最小值 展开
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(1)令x1<x2,则x2-x1>0;
∵x>0时,f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
x2=(x2-x1)+x1
又∵f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y);
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
即x1<x2时,f(x1)>f(x2)
所以,y=f(x)在R上是减函数;
(注:这基本上是抽象函数证明单调性的标准流程了,其它做法基本都会有细节方面的问题)
(2)由(1)y=f(x)在R上是减函数,
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值为f(-3),最小值为f(3);
∵f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0,得:f(x)=f(x)+f(0),所以:f(0)=0
令y=-x,得:f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(1)=-2,则f(2)=2f(1)=-4,
f(3)=f(1)+f(2)=-6;
∵f(x)+f(-x)=0
∴f(-3)=-f(3)=6;
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值和最小值分别为6和-6;
希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
∵x>0时,f(x)<0
∴f(x2-x1)<0
x2=(x2-x1)+x1
又∵f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y);
∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)
即f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
∵f(x2-x1)<0
∴f(x2)-f(x1)<0
即x1<x2时,f(x1)>f(x2)
所以,y=f(x)在R上是减函数;
(注:这基本上是抽象函数证明单调性的标准流程了,其它做法基本都会有细节方面的问题)
(2)由(1)y=f(x)在R上是减函数,
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值为f(-3),最小值为f(3);
∵f(x+y)=f(x)+f(y)
令y=0,得:f(x)=f(x)+f(0),所以:f(0)=0
令y=-x,得:f(0)=f(x)+f(-x)=0
f(1)=-2,则f(2)=2f(1)=-4,
f(3)=f(1)+f(2)=-6;
∵f(x)+f(-x)=0
∴f(-3)=-f(3)=6;
∴y=f(x)在区间【-3,3】上的最大值和最小值分别为6和-6;
希望能帮到你,如果不懂,请Hi我,祝学习进步!
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设x=0,y=0,则f(0)=2f(0),所以f(0)=0.【或设x=1,y=0,则f(1+0)即f(1)=f(1)+f(0),f(0)=0,】
f(½+½)=2f(½),∴f(1)=-2=2f(½),∴f(½)=-1.
又f(1-½)即f(1)+f(-½)=f(½),∴f(-½)=-f(1)+f(½)=2-1=1,
设x1<x2。则只需证明f(x1)-f(x2)>0即可。
由题设,函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x+y)-f(x)=f(y),______(*),
我们设x2-x1=p>0,∴x1+p=x2,∴两边的函数值是相等的,即f(x1+p)=f(x1)+f(p)=f(x2),
移项,由(*)得到f(x1)-f(x2)=-f(p),∵已知x>0时,y<0,∴-f(p)>0,即f(x1)-f(x2)>0,证完。
由上面的结论可以得到f(-3)最大;f(3)最小。
f(-3)=f(-½-½-½-½-½-½)=6f(-½)=6×1=6,
f(3)=f(½+½+½+½+½+½)=6f(½)=6×(-1)=-6.
f(½+½)=2f(½),∴f(1)=-2=2f(½),∴f(½)=-1.
又f(1-½)即f(1)+f(-½)=f(½),∴f(-½)=-f(1)+f(½)=2-1=1,
设x1<x2。则只需证明f(x1)-f(x2)>0即可。
由题设,函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),即f(x+y)-f(x)=f(y),______(*),
我们设x2-x1=p>0,∴x1+p=x2,∴两边的函数值是相等的,即f(x1+p)=f(x1)+f(p)=f(x2),
移项,由(*)得到f(x1)-f(x2)=-f(p),∵已知x>0时,y<0,∴-f(p)>0,即f(x1)-f(x2)>0,证完。
由上面的结论可以得到f(-3)最大;f(3)最小。
f(-3)=f(-½-½-½-½-½-½)=6f(-½)=6×1=6,
f(3)=f(½+½+½+½+½+½)=6f(½)=6×(-1)=-6.
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你好!
设a<b
f(b)-f(a)
=f[(b-a)+a] - f(a)
=f(b-a) +f(a) - f(a)
= f(b-a)
∵b-a>0
∴f(b-a)<0
则f(b)-f(a)<0
∴f(x)是减函数
2、令x=y=1
f(2)=f(1)+f(1)= -4
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1) = -6
令y=0
f(x)= f(x) +f(0)
f(0)=0
令x=3,y=-3
f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)=0
f(-3) = - f(3) = 6
因为是减函数
∴最大值f(-3)=6
最小值f(3) = -6
设a<b
f(b)-f(a)
=f[(b-a)+a] - f(a)
=f(b-a) +f(a) - f(a)
= f(b-a)
∵b-a>0
∴f(b-a)<0
则f(b)-f(a)<0
∴f(x)是减函数
2、令x=y=1
f(2)=f(1)+f(1)= -4
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1) = -6
令y=0
f(x)= f(x) +f(0)
f(0)=0
令x=3,y=-3
f(0)=f(3-3)=f(3)+f(-3)=0
f(-3) = - f(3) = 6
因为是减函数
∴最大值f(-3)=6
最小值f(3) = -6
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你的题目“设函数f(x)对于任意x,y属于R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,y<0,f(1)=-2”中y<0中的
y=f(x)吧???
y=f(x)吧???
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设x=y=0
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=0
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(x)=f(x)
f(0+0)=f(0)+f(0)
f(0)=0
令y=0
f(x+0)=f(x)+f(0)
f(x)=f(x)
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