Question

映射的分类：单射、满射、双射分别是什么意思？请规范解释，谢谢！

Answer 1

设f是由集合A到集合B的映射，如果x,y∈A,且x≠y时有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。　 　　在数学里，单射函数为一函数，其将不同的引数连接至不同的值上。更精确地说，函数f被称为是单射的，当对每一值域内的y，存在至多一个定义域内的x使得f(x) = y。 　　另一种说法为，f为单射，当若f(a) = f(b)，则a = b(或若a≠b，则f(a)≠f(b))，其中a、b属于定义域。

1个函数称为满射:如果每个可能的像至少有一个变量映射其上(即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像)，或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。
形式化的定义如下：
　　函数为满射，当且仅当对任意b，存在a满足f(a) = b。
　　将一个满射的陪域中每个元素的原像集看作一个等价类，我们可以得到以该等价类组成的集合（原定义域的商集）为定义域的一个双射。

既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射” 　　设f是从集合A到集合B的映射，若R(f)=B,即B中任一元素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；若对A中任意两个不同元素a(1)不等于a(2),他们的像f<a(1)>不等于f<a(2)>,则称f为A到B的单射；若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。 　　函数f: A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b。 　　函数f : A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在函数g: B → A满足g o f = A上的恒等函数，且f o g为B上的恒等函数。 　　两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。 　　同一集合上的双射构成一个对称群。 　　如果X,Y皆为实数集R，则双射函数f:R→R可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。） 映射函数