Question

关于高数的问题，包括等价无穷小和求对数积分的证明。

如图，这两个式子都是分子分母分别0比0的，第二个式子我知道证明过程，但不是用夹逼定理，我不知道怎么把夹逼定理运用到这式子的证明上，顺便提一下，我是在国外上的高数，对国内的一概不知，国外的简单很多，也根本不讲什么等价无穷小的，我是因为书上没写对数积分的证明，到网上查资料查到等价无穷小，所以就想把它弄懂。
然后回到正题，如图，这两个式子有人能详细地解释清楚我到底怎么知道哪个式子和哪个式子才是对应的等价无穷小吗？我之前有问同学中国书上的概念，还有什么高阶低阶k阶无穷小的，所以要看是不是等价无穷小，就去看他们趋近于零的速度？那我要怎么知道这速度？
因为我不喜欢书上说什么就是什么，比如说书上给我个定理我就得背下来，我还是比较想了解一下这定理的来由和推导过程的，因为自己无法解决，所以上来问大家，先谢谢大家了。
第二个问题就是为什么lnx的导数是x/1。这个我有看别人的解答过程。
△y＝f(x+△x)－f(x)＝ln(x+△x)－lnx＝ln(1＋△x/x)，当△x→0时，等价于△x/x
到这一步，同样的问题，因为选△x/x这个做分母来求等价无穷小的话，分母是趋近于0，那如果我就选△x这个做分母，分母也是趋近于0啊？这个△x本身就很抽象，没有个固定的函数式的，只看你怎么变，那为什么那个式子不能等价于△x而是等价于△x/x？这其中有什么复杂的道理吗？
还有我不知道什么泰勒公式和罗比达法则。

问题比较长，先谢谢大家了。

Answer 1

第一个式子是等价无穷小，若两个无穷小比值极限是1，那么它们就是互为等价无穷小。
若两个无穷小的比值极限是一个不为零的常数，那么它们就是互为同阶无穷小。
若两个无穷小比值(a/b)的极限是零，那么a就是b高阶无穷小。
若两个无穷小比值(a/b)的极限是无穷大(正负无穷皆可)，那么a就是b低阶无穷小。
这两道题最好使用洛必达法则，这样最简单。我认为这问题对你来说难度不大。我对你们国外的数学教育很感兴趣，有时间咱们聊聊。

追问

啊你为什么会觉得难度不大？其实我的问题就是追问上面那个人的，所以弄懂罗比达法则就能知道怎么判断这两式子是不是等价无穷小？
那我现在凭空给你一个函数f(x)然后让你去找这个函数的等价无穷小，也能用那法则找？同一个函数会有多个等价无穷小吗？
还有我不知道求出那些高阶低阶无穷小有什么作用？如果说知道等价无穷小的意义是求极限方便，那么判断高低阶不是要先求极限？这不是难了？
好呀，当然可以讨论，谢谢！

Answer 2

楼上cqyzlgm的解答很不错~~~其实你不要看Δx有个x，它其实和x没啥关系，也不是x的一个函数。你可以这样理解，有一截线段长度是x，在后面又加了一截Δx，现在线段长x+Δx。后来加上去的这一截你也可以起个名字叫a，那么线段的长度就是x+a。在研究变化的时候，仅仅是研究Δx的变化，所以x当然可以提出来。

追问

首先谢谢你的解释，我一开始的确有纠结Δx里面的x，不过后面搞明白了。
还有啊，为啥你们俩全都误会我对提不提那个x有问题了，那个是与变化量无关的当然能提出来。
我是说，你看他最后一行括号里写的，再看他倒数第二行写的。
假如说他括号里写的是a的极限=e
那一大串式子是a
然后倒数第二行，明明a的外面还包了个ln，怎么能撇开ln直接求a的极限呢？听明白了吗？
还有我不理解e是怎么定义的，请问你能解释吗？谢谢。

追答

这样看：
f(x)=lnx,
φ(t)=(1+1/t)^t,
当你研究t->0 时候 f(φ(t))的值，当然只需要知道在t趋近0的时候φ(t)的极限值了。也就是说，事实上只需要关心外层函数f(x)的这个x最后能取到哪~
e的定义，百度百科的链接 http://baike.baidu.com/view/71765.htm?goodTagLemma

追问

谢谢，对喔~可以理解。
不过现在半夜三点脑子有点晕= =。
谢了，不过还是不懂为啥那个式子的极限会是e
这个百科上的看过了已经，但我想知道大学会不会讲这个，而且是同样的定义为所有自然数对应的阶乘的倒数之和？是怎么样被引入的，和什么知识点相关的？
抱歉……

追答

诶，能力有限～～这个就不知道了～～～问问楼上的或许知道吧。我不是学数学的T_T ~ ~抱歉

追问

哈哈没事，谢谢你拉！楼上们都没人影拉~哈哈。

Answer 3

罗比达法则分子分母对导后取极限做这两个问题最简单。
第一个式子是等价无穷小，两个无穷小比值极限是1，就是等价无穷小
如果有可能你还是看看国内的高数教材，你有基础，难度不大。

追问

两个无穷小比值极限是1就是等价无穷小， 这个我知道啊，中国的书上是这么写的。
不瞒你说我现在刚上完定积分，应该不算很有基础吧？
所以你是说弄懂罗比达法则就能知道怎么判断这两式子是不是等价无穷小？
那我现在就凭空给你一个函数f(x)然后我让你去找这个函数的等价无穷小，也能用那法则找？同一个函数会有多个等价无穷小吗？谢谢

Answer 4

若还不清楚就再问我吧。

追问

特别感谢你！写得很清楚，而且回答了我两个问题！
而且把中间步骤也写得很详细，很有逻辑。
但我不是很明白你最后一行括号里的式子，求极限的时候可以把lnu分开？只看u的极限？
因为我不知道为什么那个式子极限会是e。0 0.
我昨天突然想可能就是为了使x^(-1)的图像下面积等于1才去求的e。然后外国书上写对e的定义就已经先入为主了，它就说lne=1，个么当然咯？ln不就是log(e)，这耍赖。还想知道怎么就选ln而不是别的函数？谢谢

追答

“但我不是很明白你最后一行括号里的式子，求极限的时候可以把lnu分开？只看u的极限？”：
1/x是常数当然可以提出来啊，变化的是delt x啊；e的定义式有很多种可以取（1+x）^(1/x)在x趋于0时的极限，也可以取所有自然数对应的阶乘的倒数之和。。。。。。lnx就是求以e为底数，x为真数的对数。。。。。。

追问

1/x是常数当然可以提出来啊，变化的是delt x啊lnx就是求以e为底数，x为真数的对数
这些基本的我还是知道的 谢谢你
但是以下的：e的定义式有很多种可以取（1+x）^(1/x)在x趋于0时的极限，也可以取所有自然数对应的阶乘的倒数之和
这些要以后学还是大一就会学？外国书上是这样的，他假设(lnx)'=1/x的这个lnx和那个以指数求的对数是两个东西，但有途径把它们证明作是同一个 所以…它没有定义e也没有证明lnx=1/x。怎么理解e的定义?