P为三角形ABC边BC上的一点,且PC=2PB,已知角ABC=45度,角APC=60度求角ACB的度数
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由三角形外角定理,有:∠APC=∠B+∠BAP, ∴60°=45°+∠BAP, ∴∠BAP=15°。
由三角形内角和定理,有:∠PAC+∠APC+∠C=180°, ∴∠PAC=180°-60°-∠C。
由正弦定理,有:PB/sin∠BAP=AP/sin∠B、 PC/sin∠PAC=AP/sin∠C。
∴(PB/PC)sin∠PAC/sin∠BAP=sin∠C/sin∠B。
∵PC=2PB,∴PB/PC=1/2, ∴sin∠PAC/sin∠BAP=2sin∠C/sin∠B,
∴sin(180°-60°-∠C)/sin15°=2sin∠C/sin45°,
∴sin(60°+∠C)sin45°=2sin∠Csin15°,
∴sin60°cos∠C+cos60°sin∠C=2√2[(√6-√2)/4]sin∠C,
∴(√3/2)cos∠C+(1/2)sin∠C=[(2√3-2)/2]sin∠C,
∴√3cos∠C+sin∠C=(2√3-2)sin∠C,
∴√3cos∠C=(2√3-3)sin∠C,
∴cos∠C=(2-√3)sin∠C,
∴cot∠C=2-√3,
∴∠C=75°。
由三角形内角和定理,有:∠PAC+∠APC+∠C=180°, ∴∠PAC=180°-60°-∠C。
由正弦定理,有:PB/sin∠BAP=AP/sin∠B、 PC/sin∠PAC=AP/sin∠C。
∴(PB/PC)sin∠PAC/sin∠BAP=sin∠C/sin∠B。
∵PC=2PB,∴PB/PC=1/2, ∴sin∠PAC/sin∠BAP=2sin∠C/sin∠B,
∴sin(180°-60°-∠C)/sin15°=2sin∠C/sin45°,
∴sin(60°+∠C)sin45°=2sin∠Csin15°,
∴sin60°cos∠C+cos60°sin∠C=2√2[(√6-√2)/4]sin∠C,
∴(√3/2)cos∠C+(1/2)sin∠C=[(2√3-2)/2]sin∠C,
∴√3cos∠C+sin∠C=(2√3-2)sin∠C,
∴√3cos∠C=(2√3-3)sin∠C,
∴cos∠C=(2-√3)sin∠C,
∴cot∠C=2-√3,
∴∠C=75°。
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