Question

当x<1,求函数f(x)=(x^2+x)/(x-1)的最大值

Answer 1

换元法：令x-1=t，因为x<1，则t<0，且x=t+1
y=f(x)=[(t+1)²+(t+1)]/t
y=(t²+3t+2)/t
y=t+2/t+3
g(t)=t+2/t是对勾函数，因为t<0；所以g(t)=t+2/t≦-2√2；
所以：y=g(t)+3≦3-2√2
所以，f(x)的最大值为3-2√2；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

令x-1=t (t<0)
x=t+1
y=[(t+1)²+(t+1)]/t
=(t²+3t+2)/t
=t+2/t +3
因为t<0,2/t<0
≤ -2√2+3
当且仅当t=-√2,即 x=1-√2时，等号成立
所以 f(x)=(x^2+x)/(x-1)的最大值3-2√2

Answer 3

解:
f(x)=(x^2+x)/(x-1),
求导：f'(x)=[(2x+1)(x-1)-(x^2+x)*1]/(x-1)^2=(x^2-2x-1)/(x-1)^2=[(x-1)^2-2]/(x-1)^2
f'(x)>0,x>1+√2;x<1-√2
f'(x)≤0,1-√2≤x≤1+√2
当x<1,f'(x)>0,x<1-√2
f'(x)≤0,1-√2≤x≤1
画出简单函数图像可以看出：当x=1-√2时，函数有最大值
f(x)max=f(1-√2)=[(1-√2)^2+(1-√2)]/(1-√2-1)=3-2√2