Question

已知函数f(x)=x²+x+2,当x∈[t,t+1]时，求函数最小值

Answer 1

解
函数f(x)=x^2+x+2开口向上、与x轴无交点、对称轴为直线x=-1/2。
考虑到所给区间[t，t+1]位置与直线x=-1/2的不确定性，所以必须展开讨论:
当t+1<=-1/2即t<=-3/2时，函数在所给区间内单调递减，
最小值为f(t+1)=t^2+3t+4；
当t<-1/2且t+1>=-1/2即-3/2<=t<-1/2时，函数在所给区间内先减后增，
最小值即为函数在R上的最小值：（4x2-1^2)/4=7/4；
当t>=-1/2时，函数在所给区间内单调递增，
最小值为f(t)=t^2+t+2。

综上，当t<=-3/2时，最小值为t^2+3t+4；当-3/2<t<=-1/2时，最小值为7/4；
当t>-1/2时，最小值为t^2+t+2。

Answer 2

t>-1/2
f(x)min=f(t)
t+1<-1/2即t<-3/2
f(x)min=f(t+1)
t+1>-1/2,t<-1/2
-3/2<t<-1/2
f(x)min=f(-1/2)

追问

为什么不用等于号呢，例如t>-1/2，为什么不用大于等于连接呢

追答

等号 在哪个去区间里 我没写

Answer 3

求导：函数求导得f'(x)=2x+1，由导数大于0得到x>-1/2（此时f(x)单调递增）,导数等于0得x=-1/2（此时f(x)取最小值）,导数小于0得到x<-1/2（此时f(x)单调递减），再分三种情况讨论就好了……