Question

如图，BC为半圆O的直径，弧AB=弧AF，AC与BF交于M。（1）若∠FBC=α，求∠ACB（用α表示）

（2）过A作AD⊥BC于D，交BF于E，求证：BE=EM
上面的点，从左至右为点A，点F

Answer 1

解：（1）因为 BC为半圆O的直径，
所以 弧BAC的度数=180，
因为 角FBC=a,
所以 弧CF的度数=2a,
弧BAF的度数=180--2a,
因为 弧AB=弧AF，
所以 弧AB的度数=90--a,
所以 角ACB=45度--a/2。
（2）因为 BC为半圆O的直径，AD垂直于BC于D，
所以 直角三角形ABC相似于直角三角形DBA，
所以 角BAD=角BCA，
因为 弧AB=弧AF，
所以 角BCA=角ABF，
所以 角BAD=角ABF，
所以 BE=AE，
因为 角BAC是直角，
所以 角ABF+角AMB=90度，角BAD+角DAM=角BAC=90度，
因为 角BAD=角ABF，
所以 角AMB=角DAM，
所以 AE=EM，
所以 BE=EM。

Answer 2

第一个问题：
∵BC是直径，∴AB⊥AC，∴∠ABF＋∠FBC＋∠ACB＝90°。
∵弧AB＝弧AF，∴∠ABF＝∠ACB，　∴2∠ACB＋∠FBC＝90°，　又∠FBC＝α，
∴2∠ACB＋α＝90°，　∴∠ACB＝45°－α/2。

第二个问题：
∵AB⊥AC、AD⊥BC，∴∠BAE＝∠ACB。［同是∠ABC的余角］
由∠BAE＝∠ACB和在第一个问题时证得的∠ABF＝∠ACB，得：∠BAE＝∠ABF，∴BE＝AE。

显然有：∠AME＝90°－∠ABF，∠EAM＝90°－∠ACB，而∠ABF＝∠ACB，∴∠AME＝∠EAM，
∴EM＝AE。
由BE＝AE、EM＝AE，得：BE＝EM。

Answer 3

第一题应该是∠ACB=（180°-α）/4=45°-α/2