Question

数学分析中为什么有时候一个强的条件可以和一个弱的条件等价

一般成立，则特殊一定成立。但很多情况下可以从特殊成立推出一般成立。
例如
（1）任何单调减少数列趋于零的数列极，n→无穷，f（xn）存在，
（2）当且仅当x→0+，f（x）存在。
（3）当且仅当任何趋于零的正数列，n→无穷，f（xn）存在
（1）与（3）等价，但（3）明显强于（1）。

Answer 1

粗略地讲，这里(3)比(1)的条件只强一点点，而且稍强的那部分对结论没有贡献。
其实不仅是数学分析，各个分支里都有这种现象。比如线性代数里Ax=0存在一个非零解和存在无穷多个非零解也是等价的，理由也一样，稍强的那部分对结论没什么贡献。
另外还有一种情况是在一定的条件下强的结论和弱的结论等价，比如泛函分析里的共鸣定理，几何里面“存在一个内角和是180度的三角形”和“任意三角形的内角和都是180度”等价。这种现象通常的解释是“一定的条件”补足了强弱间的差距。

追问

（1）与（2）等价，（2）与（3）等价，可以得出（1）与（3）等价，（3）推出（1）显然，但如何不经过（2）直接由（1）推出（3），这个在理论上一定办得到的，如何操作呢？
归结起来应该是任意性和存在性在一定的条件下等价的问题。
另外还想问一个问题，如何证明反证法的正确性，就像数学归纳法那样，看上去很显然的，但都有一套理论去证明它的正确性，那反证法的正确性如何证明

追答

"不经过（2）直接由（1）推出（3），这个在理论上一定办得到的"
一般来讲不要有这个观念！
当然，对于这个具体问题而言，直接把(1),(3)用数列极限的定义展开就行了，不需要函数极限的概念。

至于反证法，这个和归纳法不同，归纳法是对数学公理（比如ZF系统的归纳公理或者Peano系统的最小数原理）的一种变形，可以认为是一种技术手段；而反证法则基于比数学公理更底层的逻辑规则——排中律和无矛盾律，更深入的问题不要问我，我无法回答。