Question

数学问题，2007年辽宁大连市中考题。

两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA如图放置，点B，A，D在同一条直线上。操作：在图中，作∠ABC的平分线BF，过点D作DF⊥BF，垂足为F，连接CE。探究：线段BF，CE的关系，并证明你的结论。说明：如果你无法证明探究所得的结论，可以先将“两个全等的Rt△ABC和Rt△EDA”改为“两个全等的等腰直角△ABC与等腰直角△EDC（点A，C，E在同一条直线上）”，然后再探索一般情况。 急啊急啊急啊，请写出解题过程。我认为BF⊥CE的，就是过程不会。图画得也稍微有些蹩脚，还请见谅。

Answer 1

操作如图①，（2分）

结论：BF⊥CE， BF=12CE．（2分）

证明：如图②，设CE交BF于点N，交BD于点M．

∵Rt△ABC≌Rt△EDA，

∴∠ABC=∠EDA=90°，AC=AE，∠1=∠2．

∵BC∥DE，

∴∠BCE=∠DEC，

∵AC=AE，

∴∠3=∠4，

∵∠2+∠4=45°，

∴∠1+∠3=45°，

即∠5=45°，

∴∠5=∠DEC=∠DME=45°．

∴∠BCE=∠5=45°．

∴BC=BM．（2分）

又∵BF平分∠ABC，

∴ MN═12CM= 12CM，BF⊥CE．（1分）

同理 MG═12EM，

∴ BF=DF=12CE（4分）