Question

函数y=根号x+根号下1-x的值域是

y=根号x+根号下(1-x)
设u=根号x，则x=u²
那么y=u²+根号下1-u²
这样怎么解值域啊- -

Answer 1

你好！
方法应该是这样的：
设a=√(1-x)
则a>=0
x=1-a²
y=1-a²+a
=-(a-1/2)²+5/4
a>=0
所以a=1/2，y最大=5/4
所以值域(-∞,5/4]

追问

你这个不对吧，如果按你设的，a=√(1-x)，那么x反解出来就是x=1-a²
可是y=√x+√(1-x)，把a和反解出来的x带入，得=√(1-a²)+a
没法解了。。

追答

方法一
定义域0=<x<=1
y^2=x+1-x+2√x√(1-x)=1+2√(x-x^2)
x-x^2=-(x-1/2)^2+1/4
当0=<x<=1时，0=<x-x^2<=1/4，0=<√(x-x^2)<=1/2
1=<y^2<=1+1=2
所以值域为[1,√2]

方法二
令x=sin^2 u ,则√1-x=cos u (由于√x和√1-x都大于0,故令sin u 和 cos u 都大于0. 则0<u<π/2)
则y=sin u +cos u =√2·[(√2/2)sin u +(√2/2)cos u]=√2·[cos(π/4) sin u +sin(π/4) cos u]=√2·sin(π/4+ u)
由于0<u<π/2,则y=√2·sin(π/4+ u)∈[1,√2]

Answer 2

用三角函数解决，设x=sint的平方，最后该函数会等价于y=sint+cost
补充下，上面哥们不是正解

Answer 3

要求y的值域，可以先求(x+根号1-x)(x<1)的值域!让其等于y2(y2>=0)，进行求导，得到始终为增函数，所以最大值是x等于1时，值为1;最小值为0了，然后开根号，所以值域为[0,1]