Question

已知a是实数，函数f（x）=2ax^2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间【-1，1】上有零点，求a的取值范围

请用 参数分离 的方法来做，谢谢大师

Answer 1

f(x)=0，即2ax²+2x-3-a=0
参变分离，过程如下：
a(2x²-1)=3-2x
当2x²-1=0，即x=±√2/2时，等式恒不成立，舍去；
当x≠±√2/2时，a=(3-2x)/(2x²-1)，
求a的范围，就是求y=(3-2x)/(2x²-1)，x属于【-1,1】且x≠±√2/2的值域；
换元法：令3-2x=t，则t属于【1,5】且x=(3-t)/2；则y=t/[(3-t)²/2-1]
整理：y=2t/(t²-6t+7)
上下同除t，得：y=2/(t+7/t-6)
g(t)=t+7/t是对勾函数，勾底是t=√7在区间【1,5】内，
g(√7)=2√7；g(1)=8；g(5)=6.4；
所以：2√7≦t+7/t≦8
则2√7-6≦t+7/t-6≦2；
则：1/(t+7/t-6)≦-(3+√7)/4或1/(t+7/t-6)≧1/2
所以y=2t/(t²-6t+7)的值域是(-∞,-(3+√7)/2]U[1,+∞)
即a的取值范围是(-∞,-(3+√7)/2]U[1,+∞)

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

y=f（x）在区间[-1，1]上有零点转化为（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解，把a用x表示出来，转化为求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]上的值域，再用分离常数法求函数 y=2x2-13-2x在[-1，1]的值域即可．
解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
又∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解，⇔（2x2-1）a=3-2x在[-1，1]上有解 ⇔1a=2x2-13-2x
在[-1，1]上有解，问题转化为求函数 y=2x2-13-2x[-1，1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1，1]，则2x=3-t，t∈[1，5]， y=12•(t-3)2-2t=12(t+7t-6)，
设 g(t)=t+7t．g′(t)=t2-7t2， t∈[1，7)时，g'（t）＜0，此函数g（t）单调递减，
t∈(7，5]时，g'（t）＞0，此函数g（t）单调递增，
∴y的取值范围是 [7-3，1]，
∴f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解ó 1a∈ [7-3，1]⇔a≥1或 a≤-3+72．
故a≥1或a≤- 3+72．

追问

抄袭，我能看懂他的我还问啊