Question

已知函数f(x)=a^x+x+1分之x-2（a>1）

求证（1）函数f(x)在（-1，正无穷大）上为增函数（2）方程f(x)=0没有负数根

Answer 1

先处理一下f(x)，f(x)=a^x+(x+1-3)/(x+1)=a^x+1-3/(x+1)
(1)令-1<x1<x2；
f(x1)-f(x2)=a^x1+1-3/(x1+1)-a^x2-1+3/(x2+1)
=a^x1-a^x2+3(x1+1-x2-1)/(x1+1)(x2+1)
=a^x1-a^x2+3(x1-x2)/(x1+1)(x2+1)
因为a>1，-1<x1<x2，
所以a^x1-a^x2<0，x1-x2<0，x1+1>0，x2+1>0，即(x1+1)(x2+1)>0
所以f(x1)-f(x2)=a^x1-a^x2+3(x1-x2)/(x1+1)(x2+1)<0
即-1<x1<x2时，f(x1)<f(x2)；
所以，f(x)在（-1，正无穷）上是增函数；
（2）证：f(x)=a^x+(x-2)/(x+1)
=a^x+(x+1-3)/(x+1)
=a^x+1-3/(x+1)
当x<-1时，a^x>0，1>0，-3/(x+1)>0；所以：f(x)=a^x+1-3/(x+1)>0，即x<-1时，f(x)=0无解；
当-1<x<0时，1<a^x+1<2，0<x+1<1，则1/(x+1)>1，则-3/(x+1)<-3，
所以：f(x)=a^x+1-3/(x+1)<2-3=-1<0；即-1<x<0时，f(x)=0无解；
综上，f(x)=0没有负实数根；
题设得证。

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！

Answer 2

证明：1.导数为
f’（x）=a^x*lna+2/（x+1）^2，当x属于（-1，正无穷大）时，导函数恒大于0，所以函数f(x)在（-1，正无穷大）上为增函数；
2.

Answer 3

可以用另一种定义;
作为奇函数,f(0)=0;
2的0次方是1;
分母1 1=2;
分子为1;
A-1/2=0;
得A=1/2.
但是这适用于填空和选择,遇到大题
你要再证明一下,即定义域关于原点对称;
f(x)=-f(-x),即可.
上面的办法是万能的死办法.

Answer 4

a^x+x+1分之x-2（a>1）
没懂

追问

a^x是a的x次方，x+1分之x-2是 x-2/x+1