Question

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16，直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数，直线L

已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=16，直线L：（2m+3）x+（m+4）y+2m-2=0.（1）无论m取何实数，直线L必经过一个定点，求出这个定点的坐标。（2）当m取任意实数时，直线L和圆的位置关系有无不变性，试说明理由。（3）请判断直线L被圆C截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时m的值以及弦的长度a

Answer 1

1）直线方程化为 (2x+y+2)m+(3x+4y-2)=0，
令 2x+y+2=0，3x+4y-2=0，解得 x=-2，y=2，
因此，直线恒过定点 P（-2，2）。
2）将P坐标代入圆的方程，可知(-2-1)^2+(2-3)^2=10<16，所以P在圆内，
因此，直线与圆恒有两个不同的交点（相交）。
3）当L丄CP时，L被圆C截得的弦最短。
因kCP=(3-2)/(1+2)=1/3，所以 kL=-3，
所以，L的方程为 y=-3(x+2)+2，即 3x+y-4=0。
由 (2m+3)/3=(m+4)=(2m-2)/(-4) 得 m=-9。
根据勾股定理得 a=2*√(r^2-CP^2)=2*√(16-10)=2√6。