Question

已知正方形ABCD的边长为4，F是BC的中点，E是DC边上的点，且DE:EC=1:3，AF与BE相交于G,求ABG的面积。

Answer 1

过F作FH∥CD交BE于H。
∵FH∥CE、CF＝BF，∴FH是△BCE中与CE平行的中位线，∴FH＝EC/2。
∵DE∶EC＝1∶3，∴（DE＋EC）/EC＝（1＋3）/3，　∴EC＝3DC/4。
∵ABCD是正方形，∴DC∥AB、DC＝AB、AB⊥BF。
∴FH＝EC/2＝（3DC/4）/2＝3AB/8。

由DC∥AB、FH∥CD，得：HF∥AB，∴△FHG∽△ABG，　∴FH/AB＝FG/AG，
∴（3AB/8）/AB＝FG/AG，　∴FG/AG＝3/8，　∴（AG＋FG）/AG＝（3＋8）/8，
∴AF/AG＝11/8，　∴AG/AF＝8/11。

∵F是BC的中点，∴△ABF的面积＝AB×BF/2＝4×2/2＝4。
显然，△ABG、△ABF是等高三角形，∴△ABG的面积/△ABF的面积＝AG/AF＝8/11。
∴△ABG的面积＝（8/11）△ABF的面积＝（8/11）×4＝32/11。
即：△ABG的面积为 32/11。

Answer 2

以B点为原点，BA和BC分别为x、y轴，建立坐标系，则BE上的G的关系已知，设G点的坐标为（x，y）可知x：y=3:4，又可求出三角形ABF的面积为4，则三角形ABG和三角形BGF的和为4，以G点为参考表示出他们的关系即4y*0.5+2x*0.5=4，解两个方程式即可得出三角形ABG的面积为32/11